ENSAI - CREST
https://marieetienne.github.io/MAF/
2025-04-14
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On a mesuré les carcatéristqiues physiques de plusieurs manchots de trois espèces différentes.
On souhaite visualiser au mieux les différences entre les différentes espèces.
On a mesuré des caractéristiques sensorielles pour 10 vins blancs du Val de Loire,
Deux types de vin sont étudiés des Sauvignon et de Vouvray (cépage Chenin Blanc) et on souhaite mettre en évidence des profils sensoriels différents.
On dispose de données quantitatives, stockées dans une matrice \(\boldsymbol{X}\) comme en ACP.
D’une variable qualitative \(\boldsymbol{Z}\) de classe, il y a \(K\) classes au total (\(K=3\) dans le cas des manchots). Celle-ci est encodée dans un tableau disjonctif complet, c’est à dire que pour l’individu \(i\), le vecteur \(Z_{ik}=1\) si l’individu appartient à la classe \(k\) et \(0\) sinon. Si bien que
\(\sum_{k=1}^K Z_{ik} =1\) et \(\sum_{i=1}^n Z_{ik}=n_k\) le nombre d’individus dans la classe \(k\).
\[\boldsymbol{Z} =\begin{pmatrix} Z_{11} & \ldots &Z_{1K} \\ \vdots & &\vdots\\ Z_{n1} & \ldots &Z_{nK} \\ \end{pmatrix}\]
On a aussi une matrice de poids \(\boldsymbol{W}\) pour les individus et une métrique \(\boldsymbol{M}\) sur les variables
Trouver la projection qui permet de mettre en évidence les différences entre les groupes.
L’inertie du nuage de points est définie comme \[I = \sum_{i=1}^n w_i \lVert\class{alea}{x_i} -\boldsymbol{g}\rVert^2_M\] On a considéré des variables centrées donc \(\boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}\).
\[\begin{align} I = & \sum_{i=1}^n w_i x_i^\top M x_i = tr(\sum_{i=1}^n w_i x_i^\top M x_i ) \\ = & tr(\sum_{i=1}^n M x_i w_i x_i^\top ) \quad \text{(commutatitvité de la trace)} \\ = & tr(M \sum_{i=1}^n x_i w_i x_i^\top )\\ = & tr(M X^\top W X)\\ = & tr( X^\top W X M)\\ = & tr( V M)\\ \end{align}\]
Dans le cas de l’ACP, la matrice \(V\) est la matrice de covariance et \(M = Id\),
Dans le cas de l’ACP normée , la matrice \(V\) est la matrice de covariance et \(M = Diag(s_k^{-2})\),
Dans le cas de l’AFM, la matrice \(V\) est la matrice de covariance et \(M = Diag( s_k^{-2} \lambda_{c_k}^{-1})\).
L’inertie du nuage est la trace de la matrice d’inertie.
Trouver les axes principaux dans ces méthodes se résume à trouver les vecteurs propres de \(VM\)
On a besoin de faire apparaître des barycentres de classe donc on réécrit la matrice d’inertie dans sa forme générale, et on indice par $T£ pour indiquer que c’est l’inertie totale du nuage.
\[V_T = X^\top W X - \boldsymbol{g} \boldsymbol{g}^\top,\]
avec \(\boldsymbol{g} = \sum_{i=1}^n w_i x_i\), \(\boldsymbol{g}\in{\mathbb{R}}^d.\)
\[V_k = X^\top \tilde{W_k} X - \boldsymbol{g_k} \boldsymbol{g_k}^\top,\]
avec \(\boldsymbol{g_k} = \sum_{i=1}^n \tilde{w}_{ik} x_i\), \(\tilde{w}_{ik} = \frac{w_i z_{ik}}{\sum_i w_i z_{ik}}.\)
Intuitivement, c’est la variabilité dans la classe, c’est à dire la dispersion autour du centre de gravité des individus de la classe \(k\)
\[V_W = \sum_{k=1}^K n_k V_k.\]
La matrice d’inertie inter-classes mesure la dispersion des centres de gravité des classes, affectés de leur poids, autour du centre de gravité du nuage.
\[V_B = \sum_{k=1}^n n_k \boldsymbol{g_k}\boldsymbol{g_k}^\top - \boldsymbol{g}\boldsymbol{g}^\top.\]
On a la décomposition suivante de l’inertie en inertie intra-classes plus inertie inter-classes \[ V_T= V_W + V_B. \]
L’inertie du nuage projeté sur l’axe \(\Delta_u\) de vecteur unitaire \(u\), avec métrique \(M\), peut se décomposer comme \[ u^\top M V_T M u = u^\top M V_B M u + u^\top M V_W M u, \] où
On cherche donc l’axe \(\Delta_u\) tel que lors de la projection sur \(\Delta_u\), les classes soient le plus séparées possible et que la variabilité au sein de chaque classe soit la plus petite possible
Si \(V_T\) est inversible et puisque \(M V_T M = M V_B M + M V_W M\), alors
\[I_d = (MV_TM)^{-1} M V_B M + (MV_TM)^{-1} M V_W M\] On cherche \(u_1\), \(\lVert u_1\rVert=1\) tel que
\[u_1^T (MV_TM)^{-1} M V_B M u_1= u_1^T M^{-1} V_T^{-1} V_B M u_1 \]
On cherche donc les vecteurs propres de \(M^{-1} V_T^{-1} V_B M\)
Si \(u_1\) est vecteur propre de \(M^{-1} V_T^{-1} V_B M\), donc \[M^{-1} V_T^{-1} V_B M u_1 = \lambda_1 u_1 \quad \text{ i .e} \quad V_T^{-1} V_B M u_1 = \lambda_1 M u_1 \]
Dans une ACP, on fait une décomposition de \(V_T M\)
A construire ensemble