From the palmerpenguins package, data courtesy of Dr. Kristen Gorman and the Palmer Station, Antarctica LTER.

library(palmerpenguins)
data(penguins)
head(penguins, n= 10)

# A tibble: 10 × 8
   species island    bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
   <fct>   <fct>              <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
 1 Adelie  Torgersen           39.1          18.7               181        3750
 2 Adelie  Torgersen           39.5          17.4               186        3800
 3 Adelie  Torgersen           40.3          18                 195        3250
 4 Adelie  Torgersen           NA            NA                  NA          NA
 5 Adelie  Torgersen           36.7          19.3               193        3450
 6 Adelie  Torgersen           39.3          20.6               190        3650
 7 Adelie  Torgersen           38.9          17.8               181        3625
 8 Adelie  Torgersen           39.2          19.6               195        4675
 9 Adelie  Torgersen           34.1          18.1               193        3475
10 Adelie  Torgersen           42            20.2               190        4250
# ℹ 2 more variables: sex <fct>, year <int>

penguins <- penguins %>% na.omit() %>% mutate(year=as.factor(year))

Artwork by @allison_horst

Point de vue science des données

• Comment représenter ces données en perdant le moins d’information possible? Visualisation
• Toutes les variables sont-elles utiles ? Compression
• Peut-on mettre en évidence des liens entre variables ? Compression
• Peut-on mettre en évidence des liens entre individus ? Compression

Point de vue biologique

• Quelles sont les différences morpholgiques entre espèces, entre sexe et entre les îles ?
• Existe-t-il des relations morphométriques ?

penguins %>%
  select(species, body_mass_g, ends_with("_mm")) %>% 
  GGally::ggpairs(aes(color = species),
          columns = c("flipper_length_mm", "body_mass_g", 
                      "bill_length_mm", "bill_depth_mm")) +
  scale_colour_manual(values = c("darkorange","purple","cyan4")) +
  scale_fill_manual(values = c("darkorange","purple","cyan4"))

Projection sur un espace à deux dimensions

Le mensonge de la projection

Comment ?

En

• Trouvant une (ou plusieurs) représentations en 2 dimensions la plus fidèle possible,
• Faisant apparaître les liens plus complexes entre variables (\(X_3 = X_1 + X_2\))
• étant capable d’identifier les individus qui se ressemblent globalement

• Si une caractéristique est quantitative, alors on note dans une colonne la valeur mesurée sur l’individu.
• Si une caractéristique \(j\) est qualitative,
  • soit on note sa modalité dans la colonne \(j\),
  • soit on utilise la représentation one hot encoding, qui consiste à représenter cette caractéristique qualitative sur autant de colonnes que de modalités et attribuer un \(1\) dans la colonne correspondant à la modalité de l’individu et 0 aux autres.

Données disponibles dans le package palmerpenguins mises à disposition par le Dr. Kristen Gorman et the Palmer Station, Antarctica LTER.

On a mesuré les caractéristiques morphologiques de divers manchots :

# A tibble: 3 × 8
  species island    bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
  <fct>   <fct>              <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
1 Adelie  Torgersen           39.1          18.7               181        3750
2 Adelie  Torgersen           39.5          17.4               186        3800
3 Adelie  Torgersen           40.3          18                 195        3250
# ℹ 2 more variables: sex <fct>, year <fct>

Dans la suite on va noter \({\boldsymbol{X}}\) la matrice des données, \({\boldsymbol{X}}\in {\mathbb{R}}^{n\times p}\).

\(x_{\class{alea}{i}\class{orange}{j}}\) est la valeur de la variable \(\class{orange}{j}\) mesurée pour l’individu \(\class{alea}{i}.\)

\[{\boldsymbol{X}}= \overset{\color{orange}{\begin{matrix}var_1& \ldots \ & \ \ldots \ &\ \ldots\ & \ var_p \end{matrix}}}{\begin{pmatrix} x_{\class{alea}{1}}^{\class{orange}{1}} & \ldots & \ldots &\ldots & x_{\class{alea}{1}}^{\class{orange}{p}}\\ \vdots & & & &\vdots \\ & & x_{\class{alea}{i}}^{\class{orange}{j}} & & \\ \vdots & & & & \vdots \\ x_{\class{alea}{n}}^{\class{orange}{1}} & & & & \ldots x_{\class{alea}{n}}^{\class{orange}{p}}\\ \end{pmatrix}}\]

Ecrire les 2 premières lignes de \(\Xbf\) pour l’exemple des manchots

Comprendre les relations entre des variables toute quantitatives.

Example

Quels sont les liens entre les différentes variables morphométriques ?

X_pca <- penguins %>%select(where(is.numeric)) 
head(X_pca)

# A tibble: 6 × 4
  bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
           <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
1           39.1          18.7               181        3750
2           39.5          17.4               186        3800
3           40.3          18                 195        3250
4           36.7          19.3               193        3450
5           39.3          20.6               190        3650
6           38.9          17.8               181        3625

\[\Xbf \in \R^{n\times d}; \quad \Xbf = \begin{pmatrix} x_{1,1} & \ldots & x_{1,p} \\ \vdots & &\vdots \\ x_{n,1} & \ldots & x_{n,p} \\ \end{pmatrix}. \]

On souhaite étudier les liens entre deux variables qualitatives.

Example

Comment la répartition entre espèce diffère entre les îles.

X_acm <- penguins %>%select(species, island) 
head(X_acm)

# A tibble: 6 × 2
  species island   
  <fct>   <fct>    
1 Adelie  Torgersen
2 Adelie  Torgersen
3 Adelie  Torgersen
4 Adelie  Torgersen
5 Adelie  Torgersen
6 Adelie  Torgersen

\[\Xbf = \begin{pmatrix} \class{bleu}{a_1} & \class{orange}{b_1} \\ \class{bleu}{\vdots} &\class{orange}{\vdots} \\ \class{bleu}{a_n} & \class{orange}{b_n} \\ \end{pmatrix}, \quad a_{i}\in \mathcal{A}, \ \#\mathcal{A}= p,\quad b_{i}\in \mathcal{B}, \ \#\mathcal{B}= q. \]