Analyse de la variance

# Analyse de la variance
## à 1 facteur
### Marie-Pierre Etienne
### <a href="https://github.com/marieetienne" class="uri">https://github.com/marieetienne</a>
### 2020/09/11 (updated: 2020-11-22)

---

---
template: intro
## Un exemple jouet à but pédagogique

On a mesuré la fréquence cardiaque de 20 femmes et 20 hommes.

```r
library(coursesdata)
data(freqdata)
```

--
<p class="question"> Les hommes et les femmes ont-ils la même fréquence cardiaque au repos ?</p>

---
template: intro
## Cas d'étude Chauve souris

- Des espèces avec différents régimes alimentaires.
- L'écho localisation (capacité auditive) est un sens essentiel pour les insectivores.

ont recensé pour 63 espèces de chauves souris l'espèce, le régime alimentaire, le clade (groupe dans l'arbre phylogénétique), différentes variables morphologiques dont le volume du cerveau dédié à l'audition (AUD)

--
<p class="question"> Le volume de la partie auditive du cerveau est il lié au régime alimentaire ?</p>

---
template: intro
## Cadre général du modèle d'analyse de la variance à 1 facteur
On étudie le lien entre  
- variable quantitative notée `$Y$` (la fréquence cardiaque, volume de cerveau),
- et une variable qualitative (un facteur) pourvant prendre `$I$` modalités (I=2 pour l'exemple 1 et I=4 dans l'exemple 2).

Les données peuvent être visualisées à l'aide d'un boxplot.

--
<p class="question"> La variable d'intérêt Y  est-elle en moyenne différente selon les différentes modalités ?</p>

---
name: model
# Le modèle d'analyse de la variance à 1 facteur

---
template: model

## Graphiquement

Une visalisation graphique du modèle d'analyse de la variance.

Comment imagine-t-on le processus aléatoire qui a conduit à nos données ?

---

---
count: false

---
count: false

---
count:false

---

---
count: false

---
count: false

<img src="anova_files/figure-html/anova_versiongraphique_proba2_M0-1.png" width="60%" height="30%" style="display: block; margin: auto;" />
---
template: model
count: false

<p class="question"> Au vu de nos données, le modèle M1 est-il plus pertinent que le modèle M0 ?</p>

---
template: model

## Version régulière du modèle M1

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu_i, \sigma^2),$$`
avec 
- `$i=1,\ldots,I$` le numéro du groupe,
- `$k= 1,\ldots, n_i$` le numéro de l'individu dans le groupe `$i$`, 
- `$n_i$` le nombre d'individus dans le groupe `$i$` et `$n=\sum_i n_i$` le nombre total d'individus,
- `$\mu_i$` le comportement moyen du groupe `$i$`,
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Une écriture équivalente

`$$Y_{ik} = \mu_{i} + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0, \sigma^2).$$`

### Nombre de paramètres du modèle

- `$I$` paramètres de moyenne  `$(\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_I)$`; 
- 1 paramètre de variance `$\sigma^2$`

---
template: model

## Version régulière du modèle M1 sur l'exemple 1

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu_i, \sigma^2),$$`
avec  `$I=2$` et  la convention `$i=1$` pour les femmes et `$i=2$` pour les hommes.

```r
freqdata %>%group_by(Sexe) %>% summarise(n= n())
```

```
# A tibble: 2 x 2
  Sexe      n
  <chr> <int>
1 F        20
2 M        20
```
Ainsi 
- `$k=1, \ldots, n_i$`, avec `$n_1=20$` et `$n_2=20$` et `$n=40$`.
- `$\mu_1$` la fréquence cardiaque moyenne des femmes et `$\mu_2$` celle des hommes. 
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Nombre de paramètres
- 2 paramètres de moyenne
- 1 paramètre de variance

---
template: model
## Version singulière du modèle du modèle M1

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu + \alpha_i, \sigma^2),$$`
avec 
- `$i=1,\ldots,I$` le numéro du groupe,
- `$k= 1,\ldots, n_i$` le numéro de l'individu dans le groupe `$i$`, ( `$\sum_i n_i=n$` )
- `$\mu$` un comportement moyen de référence,
- `$\alpha_i$` un effet différentiel du groupe `$i$`par rapport à la référence,
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Une écriture équivalente

`$$Y_{ik} = \mu + \alpha_{i} + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0, \sigma^2).$$`

### Nombre de paramètres du modèle

- `$I+1$` paramètres de moyenne `$(\mu, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_I)$`,
- 1 paramètre de variance `$\sigma^2.$`

#### La version dans les logiciels et celle qui se généralise à plusieurs facteurs.

---
template: model
## Version singulière du modèle du modèle M1 sur l'exemple 1

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu + \alpha_i, \sigma^2),$$`
avec 
- `$I=2$` et  la convention `$i=1$` pour les femmes et `$i=2$` pour les hommes.
- `$k=1, \ldots, n_i$`, avec `$n_1=20$` et `$n_2=20$`
- `$\mu$` la fréquence cardiaque moyenne de référence <a class="care"> Référence à définir </a> 
- `$\alpha_1$`, l'effet différentiel d'être une femme par rapport à la différence et `$\alpha_2$` l'effet différentiel d'être un homme.
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Nombre de paramètres
- 3 paramètres de moyenne
- 1 paramètre de variance

---
template: model
## Lien entre les deux versions du même modèle

<table style="width:100%">
  <tr>
    <th>Groupe</th>
    <th>V. régulière</th>
    <th>V. singulière</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>1</td>
    <td> `$\mu_1$` </td>
    <td> `$\mu +\alpha_1$` </td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2</td>
    <td> `$\mu_2$` </td>
    <td> `$\mu +\alpha_2$` </td>
  </tr>
    <tr>
    <td> </td>
    <td>  </td>
    <td>   </td>
  </tr>
  </tr>
    <tr>
    <td> </td>
    <td>  </td>
    <td>   </td>
  </tr>
  </tr>
    <tr>
    <td> </td>
    <td>  </td>
    <td>   </td>
  </tr>
    <tr>
    <td>I</td>
    <td> `$\mu_I$` </td>
    <td> `$\mu +\alpha_I$` </td>
  </tr>
</table>

<a class=care> Problème </a> : Version régulière mal définie. Le modèle dans cette version est dit <a style="font-weight:400;"> indéterminé</a>.

--
####Exemple
Si `$\mu_1 =10,\ \mu_2=12,$` dans la forme singulière peut correspondre à

- `$\mu =10,\ \alpha_1=0, \ \alpha_2=2,$`
- ou `$\mu =0,\ \alpha_1=10, \ \alpha_2=12,$`
- ou `$\mu =11,\ \alpha_1=-1, \ \alpha_2=1,$`
- ou `$\mu =15,\ \alpha_1=-5, \ \alpha_2=-3,$`
- `$\ldots$`

--
<a class=care> Solution </a> : Choisir une contrainte. Par défaut dans R, `$\alpha_1=0$`. La référence est le comportement du groupe 1.

---
template: model
## Version singulière du modèle du modèle M1 en intégrant la contrainte par défaut

`$$Y_{ik} = \mu + \alpha_{i} + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0, \sigma^2).$$`

avec 
- `$i=1,\ldots,I$` le numéro du groupe,
- `$k= 1,\ldots, n_i$` le numéro de l'individu dans le groupe `$i$`, ($\sum_i n_i = n$ nombre total d'individus)
- `$\mu$` un comportement moyen de référence <a class=care> c'est celui du groupe 1</a>
- `$\alpha_1=0$`  la contrainte choisie, `$\alpha_1$` n'est plus un paramètre d'intérêt.
- `$\alpha_i, i\geq 2$` un effet différentiel du groupe `$i$`par rapport à la référence(i.e. le groupe 1)
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Nombre de paramètres du modèle

- `$I$` paramètres de moyenne `$(\mu,  \alpha_2, \ldots, \alpha_I)$`,
- 1 paramètre de variance `$\sigma^2.$`

---
template: model
## Version singulière du modèle du modèle M1 sur l'exemple 1  en intégrant la contrainte par défaut

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu + \alpha_i, \sigma^2),$$`
avec 
- `$I=2$` et  la convention `$i=1$` pour les femmes et `$i=2$` pour les hommes.
- `$k=1, \ldots, n_i$`, avec `$n_1=20$` et `$n_2=20$`
- `$\mu$` la fréquence cardiaque moyenne des femmesei 
- `$\alpha_1$`, l'effet différentiel d'être une femme par rapport à la différence et `$\alpha_2$` l'effet différentiel d'être un homme.
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Nombre de paramètres
- 3 paramètres de moyenne
- 1 paramètre de variance

---
template: model
## Sous forme matricielle
 `$$\bf{Y = X\theta + E}$$`
### Forme régulière

`$${\bf{Y}} = \overset{}{\begin{pmatrix}
Y_{11}\\
Y_{12}\\
Y_{13}\\
\vdots\\
Y_{1n_1}\\
Y_{21}\\
Y_{22}\\
\vdots\\
Y_{2n_2}\\
\vdots\\
Y_{In_I}\end{pmatrix}}, \quad
{\bf{X}} =\overset{\color{gray}{\begin{matrix}\mu_1 & \mu_2 & \ldots & \ldots &\mu_I\end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
\vdots\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
0 & 1 & 0 & \ldots 0 \\
0 & 1 & 0 & \ldots 0 \\\vdots\\
0 & 1 & 0 & \ldots 0 \\\vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots 1 \end{pmatrix}}, \quad
{\bf{\theta}} =\begin{pmatrix}
\mu_{1}\\
\mu_{2}\\
\vdots\\
\mu_I\end{pmatrix}, \quad{\bf{E}} =\begin{pmatrix}
E_{11}\\
E_{12}\\
E_{13}\\
\vdots\\
E_{1n_1}\\
E_{21}\\
E_{22}\\
\vdots\\
E_{2n_2}\\
\vdots\\
E_{In_I}\end{pmatrix}. \quad$$`

---
template: model
## Sous forme matricielle
 `$$\bf{Y = X\theta + E}$$`
### Forme singulière

`$${\bf{Y}} = \overset{}{\begin{pmatrix}
Y_{11}\\
Y_{12}\\
Y_{13}\\
\vdots\\
Y_{1n_1}\\
Y_{21}\\
Y_{22}\\
\vdots\\
Y_{2n_2}\\
\vdots\\
Y_{In_I}\end{pmatrix}}, \quad
{\bf{X}} =\overset{\color{gray}{\begin{matrix}\mu & \alpha_2 & \ldots & \ldots &\alpha_I\end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
\vdots\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 1 & 0 & \ldots 0 \\
1 & 1 & 0 & \ldots 0 \\\vdots\\
1 & 1 & 0 & \ldots 0 \\\vdots\\
1 & 0 & 0 & \ldots 1 \end{pmatrix}}, \quad
{\bf{\theta}} =\begin{pmatrix}
\mu\\
\alpha\\
\vdots\\
\alpha_I\end{pmatrix}, \quad{\bf{E}} =\begin{pmatrix}
E_{11}\\
E_{12}\\
E_{13}\\
\vdots\\
E_{1n_1}\\
E_{21}\\
E_{22}\\
\vdots\\
E_{2n_2}\\
\vdots\\
E_{In_I}\end{pmatrix}. \quad$$`

---
count: false
template: model
## Déclinaisons sur l'exemple 1 (fréquence cardiaque)

#### Donner les dimensions de `$\bf{Y,\ X,\ \theta}$`  et `$\bf{E}$` (nombre de lignes et de colonnes)

#### Ecrire `$\theta$`

#### Expliquer comment construire `$\bf{X}$`

.footnote[
 Pour un rappel sur le produit matriciel : [Wkipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_matriciel)
]

---
class: inverse
name: pause
# Pause

<br><br><br><br>
<p style="color:#B40F20;font-size:35px;text-align:center;">Prenons une petite pause !!!</p>

---
name: parametre
# Etude des paramètres du modèle

---
template: parametre
## Quelques précisions de notations et de vocabulaires

- Les données observées (les valeurs prises par la variable `$Y$` ) : `$\bf{y}=(y_{11}, y_{12}, \ldots, y_{I n_I}).$`

- En refaisant la même expérience, on obtiendrait d'autres valeurs (liées àaux choix d'individus différents par exemple, ou mesuré un autre jour, ...), on va noter `$Y_{ik}$` la variable aléatoire qui décrit la loi des valeurs possibles pour l'individu k du groupe i.

<br>
<a class=care> les minuscules notent des valeurs, les majuscules des variables aléatoires. </a>
<br>

Les paramètres du modèle  sont inconnus. Ils sont notés par des lettres grecques `$\bf{\theta}$`, `$\mu, \alpha, \dots$`.

On veut en donner une estimation à partir des données observées ( `$\bf{y}$`). Les estimations des paramètres sont notées par les mêmes lettres décorées d'un chapeau `$\bf{\hat{\theta}}, \hat{\mu}, \hat{\alpha}, \dots$`.

L'estimateur d'un paramètre est la variable aléatoire correspondante. Il sera noté en majuscule avec une lettre latine. Par exemple, l'etimateur de `$\theta$` sera noté `$T$`, l'estimateur de `$\mu$` sera noté `$M$` et l'estimateur de `$\alpha_1$` sera noté `$A_1$`.

---
template: parametre
## Estimation des paramètres du modèle version régulière

`$$Y_{ik} = \mu_i + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0,\sigma^2).$$`

### Estimation

`$\mu_i$` représente le comportement moyen de l'ensemble des individus du groupe `$i$`.  On peut l'estimer par `$\hat{\mu}_i = \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} y_{ik}$`

### Estimateur

L'estimateur de `$\mu_i$` est donc défini par `$M_i= \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} Y_{ik},$`  c'est une variable aléatoire

--
- de loi normale (somme de variables normales)

--
- d'espérance `$\mathbb{E}(M_i) = \mathbb{E}\left( \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} Y_{ik}\right) =  \frac{1}{n_i} \sum_{k=1}^{n_i} \mathbb{E}(Y_{ik}) =\mu_i.$` 
--
<a class=care> C'est un estimateur sans biais</a>
--

- de variance `$\mathbb{V}(M_i) = \mathbb{V}\left( \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} Y_{ik}\right) =  \frac{1}{n_i^2} \sum_{k=1}^{n_i} \mathbb{V}(Y_{ik}) = \frac{\sigma^2}{n_i}$`
--
<a class=care> la variance de l'estimateur diminue quand le nombre de personnes dans le groupe augmente.</a>
--

`$$M_i \sim\mathcal{N}\left(\mu_i, \frac{\sigma^2}{n_i}\right).$$`

---
template: parametre
## Estimation des paramètres du modèle version singulière avec la contrainte par défaut

`$$Y_{ik} = \mu + \alpha_i + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0,\sigma^2).$$`

### Estimation

- `$\mu$` représente le comportement moyen du groupe 1 (groupe de référence) : `$\hat{\mu} = \frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1} y_{1k}$`
--

- `$\mu + \alpha_i = \mu_i$`, donc  `$\alpha_i = \mu_i -\mu$` ,représente l'effet différentiel du groupe i par rapport au groupe de référence.  `$\hat{\alpha_i} = \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} y_{1k} - \hat{\mu}$`

### Estimateur

L'estimateur de `$\mu$` est donc défini par `$M= \frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1} Y_{1k}.$`

`$$M \sim\mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n_1}\right).$$`

L'estimateur de `$\alpha_i$` est donc défini par `$A_i= \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} Y_{ik} - \frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1} Y_{1k}.$`

`$$A_i \sim\mathcal{N}\left(\alpha_i, \sigma^2\left(\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_1}\right) \right).$$`

---
template: parametre
## Estimation des paramètres pour l'exemple 1.

### Ce qu'on doit trouver

`$$\hat{\mu} =\frac{1}{20}\sum_{k=1}^{20} y_{1k}, \quad \hat{\alpha}_2 =\frac{1}{20}\sum_{k=1}^{20} y_{2k} - \frac{1}{20}\sum_{k=1}^{20} y_{1k}$$`

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>% summarise(m = mean(freqC), n= n())
```

```
# A tibble: 2 x 3
  Sexe      m     n
  <chr> <dbl> <int>
1 F      84.3    20
2 M      84.6    20
```

`$\hat{\mu} =$` 84.3 et `$\hat{\alpha}_2=$` 0.25.

---
count: false
template: parametre
## Estimation des paramètres pour l'exemple 1.

### Ce qu'on doit trouver

`$\hat{\mu} =$` 84.3 et `$\hat{\alpha}_2=$` 0.25.

### Estimer avec R

```r
M1 <- lm(freqC ~ Sexe, data = freqdata)
summary(M1)$coefficients
```

```
            Estimate Std. Error    t value     Pr(>|t|)
(Intercept)    84.30  0.9025913 93.3977539 1.649393e-46
SexeM           0.25  1.2764569  0.1958546 8.457675e-01
```

---
count: false
template: parametre
## Estimation des paramètres pour l'exemple 1.

```r
M1 <- lm(freqC ~ Sexe, data = freqdata)
summary(M1)
```

```

Call:
lm(formula = freqC ~ Sexe, data = freqdata)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-8.550 -2.737 -0.425  2.513  8.700

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  84.3000     0.9026  93.398   <2e-16 ***
SexeM         0.2500     1.2765   0.196    0.846    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.037 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.001008,	Adjusted R-squared:  -0.02528 
F-statistic: 0.03836 on 1 and 38 DF,  p-value: 0.8458
```

---
template: parametre
## Retour sur la méthode d'estimation - Somme des carrés résiduel (RSS)

Naturellement, on a choisi d'estimer  `$\mu_i$` par `$\frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_1} y_{ik}.$`

En fait, `$\hat{\mu}_i$` est choisi pour minimiser `$RSS_{obs}$`, la somme observée des erreurs au carré  donnée par

`$$RSS_{obs} = \sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (y_{ik} - \hat{\mu}_i)^2.$$` 
--

Le modèle d'analyse de la variance 
`$$Y_{ik} =\mu_i +E_{ik}.$$`
Pour un nouvel individu `$k_0$` dans le groupe `$i$`, le modèle prédit que sa fréquence cardiaque sera `$\hat{y}_{ik_0}=\hat{\mu}_i$`.

`$RSS_{obs}$` se réécrit dans un cadre général comme

`$$RSS_{obs} = \sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (y_{ik} - \hat{y}_{ik})^2.$$`

`$$RSS = \sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (Y_{ik} - \hat{Y}_{ik})^2.$$`

---
template: parametre

## Loi de RSS

`$$\frac{RSS}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-I).$$`

### D'où vient ce `$n-I$` ?

La variabilité totale des erreurs est donnée par

`$$\sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (Y_{ik} - \mu_i)^2= \sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (E_{ik})^2,$$`
C'est la somme de n variables aléaoires normales centrées de variance `$\sigma^2$`, donc

`$$\sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} \left( \frac{E_{ik}}{\sigma}\right)^2 \sim\chi^2(n).$$`
--

Mais les `$\mu_i$` sont inconnus, on les remplace par leur estimateurs  `$M_i.$`

Chaque fois que l'on doit remplacer un paramètre de moyenne par son estimateur, on perd un degré de liberté. Ici on a estimé `$I$` paramètres de moyenne, d'où le `$n-I$`.

---
template: parametre
## Le paramètre de variance

Rappel:

Si une variable `$U\sim\chi^2(l)$` alors `$\mathbb{E}(U)=l$`.

Alors `$\mathbb{E}\left( \frac{RSS}{\sigma^2} \right) = n-I,$` donc  `$\mathbb{E}\left( \frac{RSS}{n-I} \right) = \sigma^2.$`

## Estimateur de la variance

$$S^2 =\frac{1}{n-I} RSS, $$
est un <a class=care> estimateur sans bias de  `$\sigma^2$` </a> .

## Estimation de `$\sigma^2$`

`$$\hat{\sigma}^2 =\frac{1}{n-I} RSS_{obs}.$$`

---

```r
*freqdata %>%  group_by(Sexe)
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
# A tibble: 40 x 3
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe 
  <dbl> <int> <chr>
1    82     1 M    
2    82     1 F    
3    77     1 M    
4    79     1 F    
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
* mutate(yhat =  mean(freqC))
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
# A tibble: 40 x 4
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe   yhat
  <dbl> <int> <chr> <dbl>
1    82     1 M      84.6
2    82     1 F      84.3
3    77     1 M      84.6
4    79     1 F      84.3
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
  mutate(yhat =  mean(freqC)) %>%
* mutate( Ehat = freqC-yhat,Ehat_2 = Ehat^2)
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
# A tibble: 40 x 6
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe   yhat  Ehat Ehat_2
  <dbl> <int> <chr> <dbl> <dbl>  <dbl>
1    82     1 M      84.6 -2.55   6.50
2    82     1 F      84.3 -2.30   5.29
3    77     1 M      84.6 -7.55  57.0 
4    79     1 F      84.3 -5.30  28.1 
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
  mutate(yhat =  mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC-yhat,Ehat_2 = Ehat^2) %>%
* ungroup %>% summarise(RSSobs=sum(Ehat_2)) %>% as.numeric() -> RSSobs
*RSSobs
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
[1] 619.15
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
  mutate(yhat =  mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC-yhat,Ehat_2 = Ehat^2) %>%
  ungroup %>% summarise(RSSobs=sum(Ehat_2)) %>% as.numeric() -> RSSobs
RSSobs
*sigma2_hat <- RSSobs / (nrow(freqdata) - 2)
*sigma2_hat
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
[1] 619.15
```

```
[1] 16.29342
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
  mutate(yhat =  mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC-yhat,Ehat_2 = Ehat^2) %>%
  ungroup %>% summarise(RSSobs=sum(Ehat_2)) %>% as.numeric() -> RSSobs
RSSobs
sigma2_hat <- RSSobs / (nrow(freqdata) - 2)
sigma2_hat
*sigma_hat <- sqrt(sigma2_hat)
*sigma_hat
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
[1] 619.15
```

```
[1] 16.29342
```

```
[1] 4.036511
```
]

---

### On doit trouver

`$\hat{\sigma}=$` 4.036511.

### Avec R

```r
M1 <- lm(freqC ~ Sexe, data = freqdata)
```

```r
summary(M1)$sigma
```

```
[1] 4.036511
```

---
count: false
template: parametre
## Estimation du paramètre de variance sur l'exemple 1

### On doit trouver

`$\hat{\sigma}=$` 4.036511.

```r
summary(M1)
```

```

Call:
lm(formula = freqC ~ Sexe, data = freqdata)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-8.550 -2.737 -0.425  2.513  8.700

Residual standard error: 4.037 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.001008,	Adjusted R-squared:  -0.02528 
F-statistic: 0.03836 on 1 and 38 DF,  p-value: 0.8458
```

---
template: parametre
## Visualisation graphique des paramètres estimés

---

---
count: false

---
count: false

---
template: parametre
## Estimation des paramètres du modèle version matricielle

Le modèle sous forme matricielle s'écrit

`$$\bf{Y = X\theta + E}.$$`
--

### Estimation de `$\theta$`

`$$\hat{\theta} = (X^\intercal X )^{-1} X^\intercal Y_{obs}.$$`

### Estimateur de `$\theta$`

`$$\hat{\theta} = (X^\intercal X )^{-1} X^\intercal Y.$$`
--

### Loi de l'estimateur de `$\theta$`

`$$T = (X^\intercal X )^{-1} X^\intercal Y \sim \mathcal{N}_{I}\left(\theta, \sigma^2 (X^\intercal X )^{-1}\right).$$`
--

Cette approche très mathématique est utile pour la généralisation, on aura l'occasion d'y revenir !!

---
template: parametre
### Déclinaison sur les exemples

A partir des données de chauve souris, ajuster un modèle  permettant d'expliquer le volume de la partie Auditive (AUD) en fonction du régime.

Il ne s'agit pas de refaire les calculs à la main, mais uniquement d'utiliser la fonction `lm`. 
### Méfiez vous

- vérifier les degrés de liberté et le nom des paramètres
- Si quelque chose cloche, vérifier la nature de la variable Diet
- On peut transformer une variable en facteur à l'aide de la fonction `as.factor`.

---
template: pause

---
name: modcomp
# Test du modèle complet

---
template: modcomp
## Rappel exemple fréquence cardiaque (exemple 1)

On a mesuré la fréquence cardiaque de 20 femmes et 20 hommes.

--
<p class="question"> Les hommes et les femmes ont-ils la même fréquence cardiaque au repos ?</p>

---
template: modcomp
## Rappel exemple fréquence cardiaque (exemple 1)

<p class="question"> Les hommes et les femmes ont-ils la même fréquence cardiaque au repos ?</p>

Autrement dit

---
template: modcomp

---
template: modcomp
## Test de l'existence d'un effet

<p class="question"> Le comportement moyen de la variable `$Y$` est il différent selon les différentes modalités de la variable explicative ?</p>

Deux modèles possibles
`$$M1 : Y_{ik} = \mu  + \alpha_i + E_{ik},\quad  M0: Y_{ik} = \mu  + E_{ik}$$`

<p class="question"> Le modèle M1 est il plus pertinent que le modèle M0?</p>

---
template: modcomp
## Mesurer la variabilité expliquée par le modèle M1

### Variabilité totale dans les données

`$$RSS_{0, obs} = \sum_{i=1}^{I} \sum_{k=1}^{n_i} (y_{ik} - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{I} \sum_{k=1}^{n_i} (y_{ik} - \hat{y}_{ik}^{(0)})^2.$$` 
--

### Variabilité résiduelle dans le modèle M1

`$$RSS_{1, obs} = \sum_{i=1}^{I} \sum_{k=1}^{n_i}  ( y_{ik} - (\hat{\mu} +\hat{\alpha}_i))^2 = \sum_{i=1}^{I} \sum_{k=1}^{n_i}  ( y_{ik} - \hat{y}_{ik}^{(1)})^2.$$` 
--

### Variabilité expliquée par le modèle M1

`$$SCM = SS_{M1,obs} =  RSS_{0, obs} - RSS_{1, obs}.$$` 
C'est la quantité de variabilité expliquée par les différence entre les I populations.

<p class=care> Si la variabilité expliquée par le modèle `$M1$` est grande, on gagne à considérer des ppopulations différentes <p>

On a mis en évidence des différences entre les populations.

---
template: modcomp
## Calcul de RSS sur l'exemple 1

A la main :

---

```r
*freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
* mutate(m= mean(freqC))
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
# A tibble: 40 x 4
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe      m
  <dbl> <int> <chr> <dbl>
1    82     1 M      84.6
2    82     1 F      84.3
3    77     1 M      84.6
4    79     1 F      84.3
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
* mutate( Ehat = freqC - m)
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
# A tibble: 40 x 5
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe      m  Ehat
  <dbl> <int> <chr> <dbl> <dbl>
1    82     1 M      84.6 -2.55
2    82     1 F      84.3 -2.30
3    77     1 M      84.6 -7.55
4    79     1 F      84.3 -5.30
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
* mutate( E2hat = Ehat^2)
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
# A tibble: 40 x 6
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe      m  Ehat E2hat
  <dbl> <int> <chr> <dbl> <dbl> <dbl>
1    82     1 M      84.6 -2.55  6.50
2    82     1 F      84.3 -2.30  5.29
3    77     1 M      84.6 -7.55 57.0 
4    79     1 F      84.3 -5.30 28.1 
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
* ungroup()
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
# A tibble: 40 x 6
  freqC Sport Sexe      m  Ehat E2hat
  <dbl> <int> <chr> <dbl> <dbl> <dbl>
1    82     1 M      84.6 -2.55  6.50
2    82     1 F      84.3 -2.30  5.29
3    77     1 M      84.6 -7.55 57.0 
4    79     1 F      84.3 -5.30 28.1 
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
* summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
[1] 619.15
```
]

---
count: false

]

---
count: false

```
   freqC Sport Sexe      m
1     82     1    M 84.425
2     82     1    F 84.425
3     77     1    M 84.425
4     79     1    F 84.425
5     81     1    M 84.425
6     83     1    F 84.425
7     76     1    M 84.425
8     80     1    F 84.425
9     80     2    M 84.425
10    83     2    F 84.425
11    83     2    M 84.425
12    81     2    F 84.425
13    81     2    M 84.425
14    84     2    F 84.425
15    80     2    M 84.425
16    82     2    F 84.425
17    88     3    M 84.425
18    81     3    F 84.425
19    87     3    M 84.425
20    83     3    F 84.425
21    86     3    M 84.425
22    83     3    F 84.425
23    87     3    M 84.425
24    83     3    F 84.425
25    85     4    M 84.425
26    85     4    F 84.425
27    84     4    M 84.425
28    86     4    F 84.425
29    87     4    M 84.425
30    87     4    F 84.425
31    85     4    M 84.425
32    85     4    F 84.425
33    92     5    M 84.425
34    88     5    F 84.425
35    91     5    M 84.425
36    93     5    F 84.425
37    90     5    M 84.425
38    88     5    F 84.425
39    89     5    M 84.425
40    90     5    F 84.425
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
* mutate( Ehat = freqC - m)
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
   freqC Sport Sexe      m   Ehat
1     82     1    M 84.425 -2.425
2     82     1    F 84.425 -2.425
3     77     1    M 84.425 -7.425
4     79     1    F 84.425 -5.425
5     81     1    M 84.425 -3.425
6     83     1    F 84.425 -1.425
7     76     1    M 84.425 -8.425
8     80     1    F 84.425 -4.425
9     80     2    M 84.425 -4.425
10    83     2    F 84.425 -1.425
11    83     2    M 84.425 -1.425
12    81     2    F 84.425 -3.425
13    81     2    M 84.425 -3.425
14    84     2    F 84.425 -0.425
15    80     2    M 84.425 -4.425
16    82     2    F 84.425 -2.425
17    88     3    M 84.425  3.575
18    81     3    F 84.425 -3.425
19    87     3    M 84.425  2.575
20    83     3    F 84.425 -1.425
21    86     3    M 84.425  1.575
22    83     3    F 84.425 -1.425
23    87     3    M 84.425  2.575
24    83     3    F 84.425 -1.425
25    85     4    M 84.425  0.575
26    85     4    F 84.425  0.575
27    84     4    M 84.425 -0.425
28    86     4    F 84.425  1.575
29    87     4    M 84.425  2.575
30    87     4    F 84.425  2.575
31    85     4    M 84.425  0.575
32    85     4    F 84.425  0.575
33    92     5    M 84.425  7.575
34    88     5    F 84.425  3.575
35    91     5    M 84.425  6.575
36    93     5    F 84.425  8.575
37    90     5    M 84.425  5.575
38    88     5    F 84.425  3.575
39    89     5    M 84.425  4.575
40    90     5    F 84.425  5.575
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
* mutate( E2hat = Ehat^2)
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
   freqC Sport Sexe      m   Ehat     E2hat
1     82     1    M 84.425 -2.425  5.880625
2     82     1    F 84.425 -2.425  5.880625
3     77     1    M 84.425 -7.425 55.130625
4     79     1    F 84.425 -5.425 29.430625
5     81     1    M 84.425 -3.425 11.730625
6     83     1    F 84.425 -1.425  2.030625
7     76     1    M 84.425 -8.425 70.980625
8     80     1    F 84.425 -4.425 19.580625
9     80     2    M 84.425 -4.425 19.580625
10    83     2    F 84.425 -1.425  2.030625
11    83     2    M 84.425 -1.425  2.030625
12    81     2    F 84.425 -3.425 11.730625
13    81     2    M 84.425 -3.425 11.730625
14    84     2    F 84.425 -0.425  0.180625
15    80     2    M 84.425 -4.425 19.580625
16    82     2    F 84.425 -2.425  5.880625
17    88     3    M 84.425  3.575 12.780625
18    81     3    F 84.425 -3.425 11.730625
19    87     3    M 84.425  2.575  6.630625
20    83     3    F 84.425 -1.425  2.030625
21    86     3    M 84.425  1.575  2.480625
22    83     3    F 84.425 -1.425  2.030625
23    87     3    M 84.425  2.575  6.630625
24    83     3    F 84.425 -1.425  2.030625
25    85     4    M 84.425  0.575  0.330625
26    85     4    F 84.425  0.575  0.330625
27    84     4    M 84.425 -0.425  0.180625
28    86     4    F 84.425  1.575  2.480625
29    87     4    M 84.425  2.575  6.630625
30    87     4    F 84.425  2.575  6.630625
31    85     4    M 84.425  0.575  0.330625
32    85     4    F 84.425  0.575  0.330625
33    92     5    M 84.425  7.575 57.380625
34    88     5    F 84.425  3.575 12.780625
35    91     5    M 84.425  6.575 43.230625
36    93     5    F 84.425  8.575 73.530625
37    90     5    M 84.425  5.575 31.080625
38    88     5    F 84.425  3.575 12.780625
39    89     5    M 84.425  4.575 20.930625
40    90     5    F 84.425  5.575 31.080625
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
* summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
[1] 619.775
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
* RSSM0
*SSM <- RSSM0 - RSSM1
```
]
 
.panel2-rss-user[

]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM0
SSM <- RSSM0 - RSSM1
*SSM
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
[1] 0.625
```
]

```
[1] 0.625
```

---
template: modcomp
## Calcul de RSS sur l'exemple 1

```r
M1 <- lm(freqC ~ Sexe, data= freqdata)
M0 <- lm(freqC ~ 1, data= freqdata)
anova(M0, M1)
```

```
Analysis of Variance Table

Model 1: freqC ~ 1
Model 2: freqC ~ Sexe
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     39 619.77                           
2     38 619.15  1     0.625 0.0384 0.8458
```

---
template: modcomp
## Quand décider si `$SS_{M1, obs}$` est grande ?

--
C'est le rôle du test statistique.

Idée de démarche:

- Décrire quelle gamme de valeurs pourrait prendre SSM dans le cas où il n'y pas de différence entre les groupes 
- Comparer avec ce qu'on constate sur nos données
- 
    - Si c'est comparable, pas de raison de penser qu'il y a des différences entre les groupes,
    - Si c'est surprenant, les groupes sont vraisemblablement différentes.

On veut décrire comment varie `$SS_{M1, obs}$` dans la situation où il n"y a pas de différence entre les groupes.

On travaille donc sous l'hypothèse 
`$$H_0 =\left \lbrace \mbox{Pas de différence entre les groupes }\right\rbrace$$`

`$$H_0 =\left \lbrace  \mbox{pour tout }i, \alpha_i =0  \right\rbrace$$`

`$$H_0 =\left \lbrace  M1 \mbox{ est équivalent à } M0 \right\rbrace.$$`

---
template: modcomp
## Hypothèses du test

On va donc opposer une hypothèse de travail `$H_0$` contre une hypothèse alternative `$H_1$`. `$H_0$` peut donc prendre différentes formes:

`$$\begin{align} 
H_0 & =\left \lbrace \mbox{Pas de différence entre les groupes }\right\rbrace\\
    & =\left \lbrace  \mbox{pour tout }i, \alpha_i =0  \right\rbrace\\
    & =\left \lbrace  M1 \mbox{ est équivalent à } M0 \right\rbrace.
\end{align}$$`

`$H_1$` prend les formes équivalentes suivantes

`$$\begin{align} 
H_1 & =\left \lbrace \mbox{Au moins 1 groupe est différent des autres}\right\rbrace\\
    & =\left \lbrace  \mbox{Il existe un }i, \alpha_i  \ne 0  \right\rbrace\\
    & =\left \lbrace  M1 \mbox{ est préférable à } M0 \right\rbrace.
\end{align}$$`

---
template: modcomp
## Loi de la statistique de test sous `$H_0$`

Il faut être capable de décrire quelles sont les valeurs possibles de `$SS_{M1, obs}$`, pour ceci il faut connaitre la loi de la variable aléatoire `$SS_{M1}$`.

-
On peut montrer que sous `$H_0$`,

`$$\frac{SS_{M1}}{\sigma^2} \underset{H_0}{\sim}\chi^2(I-1)$$`

--
Mais `$\sigma^2$` est inconnu, on a envie de le remplacer par son estimateur `$RSS / (n-I).$`

<p class=question> 
Sous `$H_0$`, 
`$$F= \frac{\frac{SS_{M1}}{I-1}}{\frac{RSS}{n-I}} \underset{H_0}{\sim}\mathcal{F}(I-1, n-I)$$`  
</p>

---
template: modcomp
## Loi de la statistique de test sous `$H_0$` - graphiquement

Sous `$H_0$` la loi de distribution de `$F$` est

---

---
count: false

---
count: false

---
template: modcomp

## Proabilité critique

La probabilité critique ( p-value en anglais) est définie par

$$ \mathbb{P}(F> F_{obs} \vert H_0)$$

Grossièrement dit, c'est la,probabilité d'observer Fobs ou des valeurs encore plus extrèmes sous `$H_0$`.

On va rejeter `$H_0$` lorsque la probabilité critique est faible (typiquement inférieure à 5%). La valeur de la statistique de test observée est peu compatible avec l'hypothèse `$H_0$`. On ne croit pas à `$H_0$`.

---
template: modcomp
## Déclinaison sur l'exemple Fréquence cardiaque

```r
anova(M0,M1)
```

```
Analysis of Variance Table

Model 1: freqC ~ 1
Model 2: freqC ~ Sexe
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     39 619.77                           
2     38 619.15  1     0.625 0.0384 0.8458
```

<img src="anova_files/figure-html/pvalue_graphique-ex_FC-1.png" width="60%" height="30%" style="display: block; margin: auto;" />
---
template: modcomp
## Sur l'exemple chauve souris

### Pouvez vous répondre à la question

<a class=question> Y a-t-il un effet du régime alimentaire sur le volume de la partie auditive du cerveau ? </a>

---
template: pause

---
name: test_param
# Test sur un paramètre

---
template: test_param
## Réflexion sur le sens de ce test

`$$Y_{ik} = \mu +\alpha_i + E_{ik}, \quad i=1,\ldots I,\ k=1,\ldots, n_i.$$`
Par défaut, R propose pour chaque coefficient le test de l'hypothèse `$H_0\ :\ \left\lbrace\mbox{ le coefficient est nul } \right\rbrace$`.

Que signifie ce test ?

- pour `$\mu$`
- pour `$\alpha_i$`

<a class=care> Attention, le sens de ce test dépend  de la contrainte choisie </p>

---
template: test_param
## Loi de la statistique de test

### Sur le cas particulier de `$\mu$`

On a vu que l'estimateur `$M$` de `$\mu$` avait pour loi

$$ M\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2 \frac{1}{n_1})$$

Sous l'hypothèse `$H_0:\left\lbrace \mu = 0\right\rbrace,$`

$$ M\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 \frac{1}{n_1}), $$
--
et donc

$$ \sqrt{n_1}\, \frac{M}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0, 1), $$
- On a donc envie de vérifier si la valeur `$\hat{\mu}$` (renormalisée par l'écart type et la taille du groupe) observé sur l'échantillon est compatible avec une loi normale centrée réduite.

Malheureusemet `$\sigma$` est inconnu.

---
template: test_param
## Loi de la statistique de test

### Sur le cas particulier de `$\mu$`

On a vu que l'estimateur `$M$` de `$\mu$` avait pour loi

$$ M\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2 \frac{1}{n_1})$$

Sous l'hypothèse `$H_0:\left\lbrace \mu = 0\right\rbrace,$`

$$ M\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 \frac{1}{n_1}), $$
et donc

$$ \sqrt{n_1}\, \frac{M}{S}\sim \mathcal{T}(n-I). $$

---
template: test_param
## Loi de la statistique de test

$$ Y = X\theta +E$$

### Plus généralement

On a vu que l'estimateur `$T$` de `$\theta$` avait pour loi

$$ T\sim \mathcal{N}(\theta, \sigma^2 (X X^\intercal)^{-1})$$

Si on s'intéresse au `$\mbox{j}^\mbox{eme}$` terme du vecteur `$\theta$`  ( `$\theta_j$` ):

sous l'hypothèse `$H_0:\left\lbrace \theta_j = 0\right\rbrace,$`

$$ T_j\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2  c_j), $$
où `$c_j$` est une constante connue qui dépend de la matrice `$X$` (cette constante valait `$1/n_1$` dans le cas particulier de `$\mu$`.)

$$  \frac{T_j}{\sqrt{c_j} S}\sim \mathcal{T}(n-I). $$

---
template: test_param
## Loi de la statistique de test

### Hypothèses de test

`$$H_0 = \left \lbrace \theta_j = 0 \right\rbrace\quad \mbox{contre} \quad H_1 = \left \lbrace \theta_j \ne 0 \right\rbrace.$$`

### Loi de la statistique de  test sous `$H_0$`

$$  \frac{T_j}{\sqrt{c_j} S}\sim \mathcal{T}(n-I). $$

### Définition de la p-value

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
template: test_param

## Déclinaison sur les exemples

### test `$\mu = 0$` .

- `$\hat{\sigma}=$` 4.037.
- `$\sqrt{c_j}\hat{\sigma}=$` 0.903,
- `$t_{j,obs}=$` 93.398,
- p-value= 0,

```r
summary(M1)
```

```

Call:
lm(formula = freqC ~ Sexe, data = freqdata)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-8.550 -2.737 -0.425  2.513  8.700

Residual standard error: 4.037 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.001008,	Adjusted R-squared:  -0.02528 
F-statistic: 0.03836 on 1 and 38 DF,  p-value: 0.8458
```

---
name: diagnostic 
# Diagnostic du modèle

---
template: dignostic
## Le coefficient de détermination

`$$R^2 = 1 - \frac{ RSS}{RSS_0} =  \frac{SS_{M1}}{RSS_0}$$`

Le pourcentage de variablité capturé par le modèle.

Ce coefficient augmente systématiquement avec le nombre de paramètres dans le modèle.

--
## Le coefficient de détermination ajusté

`$$R^2_{adj} = 1 - \frac{ \frac{RSS}{n-I}}{\frac{RSS_0}{n-1}}$$`
est un indicateur du degré d'ajustement du modèle en pénalisant par le nombre de variables.

---
template: diagnostic
## Vérification graphique des hypothèses de modélisation

```r
library(ggfortify)
autoplot(M1)
```

---
# Démarche complète d'analyse à partir de l'exemple des chauves souris

Une question initiale :  Le volume auditif dépend il de régime alimentaire. 
- Représenter les données en fonction des questions qu'on se pose.
- Ecrire le modèle 
- Traduire la question en 1 ou plusieurs tests statistiques
- Apporter une réponse concrète

---
# Bilan sur le modèle d'analyse de la variance à 1 facteur

### But 
Etudier le lien entre une variable quantitative (la fréquence cardiaque) et un facteur (le Sexe).

## Le modèle 
`$$Y_{ik} = \mu + \alpha_i + E_{ik}$$`
avec `$\mu$` le comportement de référence et `$\alpha_i$` l'effet différentiel du groupe `$i$`  par rapport à la référence.

La référence est définie par la contrainte choisie. R par défaut choisit la contrainte `$\alpha_1=0$`, ce qui place le groupe 1 comme groupe de référence.

Le modèle d'analyse de la variance à un facteur est un modèle linéaire et peut se mettre sous la forme générique 
`$$Y = X\theta +E$$`

## Tests
Pour comparer des modèles ( pour tester un potentiel effet du facteur),

Sur un  paramètre  pvaut une valeur donnée (par défaut R teste systématiquement si un paramètre vaut 0)
- on doit vérifier que les hypothèses de modélisation ne sont pas trop fausses.

---
template: pause

Avant de passer à l'analyse de variance à deux facteurs ...
---