Plan d’expérience

# Plan d’expérience
## pour tirer un maximum de profits d’une expérimentation
### Marie-Pierre Etienne
### <a href="https://github.com/marieetienne" class="uri">https://github.com/marieetienne</a>
### 2020/09/11 (updated: 2023-09-08)

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## Retour sur la fréquence cardiaque et l'activité sportive

```
## # A tibble: 4 × 3
## # Groups:   Activite [2]
##   Activite Sexe   nobs
##   <fct>    <fct> <int>
## 1 Natation F         4
## 2 Natation M         4
## 3 Pilates  F         4
## 4 Pilates  M         4
```
]

* Ces données sont modélisées par `$$Y_{ik} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij}+ E_{ik},$$`

]

* `$n_{ij}=4$`, pour tout `$i,j$`. Plan d'expérience **équilibré** : séparation complète de la variabilité associée à l'effet du Sexe et de l'Activité.

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## Retour sur la fréquence cardiaque et l'activité sportive

* Que se passe-t-il si, dans notre expérience, on a le design suivant ?

```
## # A tibble: 4 × 3
##   Activite Sexe   nobs
##   <fct>    <fct> <dbl>
## 1 Natation F         8
## 2 Natation M         0
## 3 Pilates  F         0
## 4 Pilates  M         8
```

La confusion est complète et on ne peut pas estimer les paramètres  (erreur dans les sorties R *aliased coefficient*)

]
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* Cas général : quand les effets ne sont ni complètement confondus ni tout à fait séparés.

]
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template: intro

## Retour sur la fréquence cardiaque et l'activité sportive

Plan d'expérience :

```
## # A tibble: 4 × 3
## # Groups:   Activite [2]
##   Activite Sexe   nobs
##   <fct>    <fct> <int>
## 1 Natation F         4
## 2 Natation M         4
## 3 Pilates  F         4
## 4 Pilates  M         4
```

* Combien de paramètres à estimer dans le modèle suivant ?  `$$Y_{ik} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij}+ E_{ik},$$`

* `$$DDL_{Res} =  ,$$`

* Que se passerait-il si on avait exactement 4 observations ?

--
.rouge[Le modèle qui contient autant de paramètres que d'observations est appelé  modèle] .care[saturé].

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template: intro

## Exemple de problème de design expérimental  : La Galette !

Plusieurs aspects clés dans la recette :

* Quantité d'eau (45%, 55%)
  * Température de cuisson (180, 220)
  * Etalement de la pâte (automatique, manuel)
  * Quantité de pâte déposée (55g, 65g)
  * Farine (bio, traditionnelle)
  * Pliage (à chaud, à froid)
  * Température de stockage (6 ou 15 degrés)

]

.center[
Combien de combinaisons possibles    
  
  * si on veut étudier .rouge[2] facteurs : 
  * si on veut étudier .rouge[3] facteurs : 
  * si on veut étudier .rouge[4] facteurs  :
]

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template: intro

## Exemple de problème de design expérimental  : La Galette !

Plusieurs aspects clés dans la recette :

]

.center[
Combien de combinaisons possibles    
  
  * si on veut étudier .rouge[2] facteurs : `$2^{\class{rouge}{2}}$`
  * si on veut étudier .rouge[3] facteurs : `$2^{\class{rouge}{3}}$`
  * si on veut étudier .rouge[4] facteurs  : `$2^{\class{rouge}{4}}$`
  * si on veut étudier .rouge[7] facteurs  : `$2^{\class{rouge}{7}}$`
]

---
name: plan_complet
# Les plans factoriels complets `$2^p$`

## Cas de 2 facteurs : plan `$2^2$`

On note `$A$` le facteur 1 et `$B$` le facteur 2. Les modalités sont notées `$1$` et `$-1$`.

On a `$2^2$` expériences différentes possibles:

### Matrice des essais

]

A : Quantité d'eau, B : Pliage

* Essai 1 : 45% d'eau , pliage à chaud
* Essai 2 : 45% d'eau , pliage à froid
* Essai 3 : 55% d'eau , pliage à chaud
* Essai 4 : 55% d'eau , pliage à froid

]

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## Cas de 2 facteurs : plan `$2^2$`

On note `$\class{jaune}{A}$` le facteur 1,  `$\class{bleu}{B}$` le facteur 2. Les modalités sont notées `$1$` et `$-1$`.

On a `$2^2$` expériences différentes possibles: on peut estimer `$2^2$` paramètres.
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Modèle d'analyse de la variance à 2 facteurs avec interaction

`$$Y_{ij} = \mu + \alpha_i +\beta_j + \gamma_{ij} + E_{ij},$$`
#### Matrice de design, matrice des effets

On résume l'expérience à la matrice

`$$X = \overset{\color{gray}{\begin{matrix}I\hspace{.4cm}&   A\hspace{.4cm}& B\hspace{.4cm} & AB \end{matrix}}}{\begin{pmatrix} 
\class{rouge}{+1} &\class{jaune}{+1} & \class{bleu}{+1}  & \class{vert}{+1}\\
\class{rouge}{+1} &\class{jaune}{+1} & \class{bleu}{-1}  & \class{vert}{-1}\\
\class{rouge}{+1} &\class{jaune}{-1} & \class{bleu}{+1}  & \class{vert}{-1}\\
\class{rouge}{+1} &\class{jaune}{-1} & \class{bleu}{-1}  & \class{vert}{+1}\\
\end{pmatrix}}$$`

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## Soyons fous : plan complet pour 3 facteurs : plan `$2^3$`

On note `$\class{jaune}{A}$` le facteur 1,  `$\class{bleu}{B}$` le facteur 2,  `$\class{orange}{C}$` le facteur 3. Les modalités sont notées `$1$` et `$-1$`.

Combien de combinaisons possibles ?

#### Matrice des effets du modèle d'anova à 3 facteurs

`$$X = \overset{\color{gray}{\begin{matrix}I\hspace{.5cm}&   A\hspace{.5cm}& B\hspace{.5cm} & C\hspace{.5cm}& AB \hspace{.5cm} & AC \hspace{.5cm} & BC \hspace{.5cm}   \end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{-1} & -1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{-1} & -1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{1}& -1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{-1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{-1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{1}& -1\\
 \end{pmatrix}}$$`

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## Conclusion sur les plans complets fractionnaires

- permet de considérer toutes les combinaisons de facteurs possibles

- on peut estimer jusque `$2^p$` paramètres : le modèle .rouge[saturé] correspondant est le  modèle d'analyse de la variance à p facteurs tenant en compte toutes les interactions d'ordre `$2, 3, \ldots, p$`.
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## Remarques

- le nombre d'expériences augmentent très vite : 
`$$\begin{align*}
2^2 & = 4; \quad 2^3= 8 \\
2^4 & = 16; \quad 2^5= 32 \\
2^6 & = 64; \quad 2^7= 128 \\
\end{align*}$$`

- Toutes les interactions ne sont peut être pas utiles.

- Peut on gagner un peu sur le nombre d'expériences ?

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name: plan_fractionnaire
# Plan fractionnaire `$2^{p-k}$`

## Plan à .rouge[3] facteurs en 4 essais : `$2^{\class{rouge}{3}-\class{jaune}{1}}$`

* Chaque niveau du facteur apparaît le même nombre de fois,
* Chaque combinaison de deux facteurs apparaît le même nombre de fois

]

`$$\overset{\color{gray}{\begin{matrix} A\hspace{.5cm}& B\hspace{.5cm} & C\hspace{.5cm} \end{matrix}}}{\begin{pmatrix} 
 \class{jaune}{+1}& \class{bleu}{+1} & \class{orange}{+1}\\
\class{jaune}{+1}& \class{bleu}{+1} & \class{orange}{-1} \\
 \class{jaune}{+1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{+1}\\
 \class{jaune}{+1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{-1}\\
\class{jaune}{-1}& \class{bleu}{+1} & \class{orange}{+1}\\
 \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{+1} & \class{orange}{-1}\\
 \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{+1}\\
 \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{-1}\\
\end{pmatrix}}$$`
]
]

---
template: plan_fractionnaire

## Mécanique de construction `$2^{\class{rouge}{p}-\class{jaune}{k}}$`

1. Choisir un plan de base : plan complet à `$2^{\class{rouge}{p}-\class{jaune}{k}}$`

2. Construire la matrice des effets du modèle saturé pour ce plan de base

3. Identifier des interactions que l'on peut confondre avec des effets principaux

4. Détermination des confusions induites

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template: plan_fractionnaire

## Retour sur le plan à 4 essais : `$2^{\class{rouge}{3}-\class{jaune}{1}}$`

*1.* Choisir un plan de base en `$2^2$` essais

--
.pull-left[
*2.* Matrice des effets du modèle saturé correspondant

`$$X = \overset{\color{gray}{\begin{matrix} I\hspace{.4cm}& A \hspace{.4cm} & B \hspace{.4cm} & AB \end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1} & \class{bleu}{1} & \class{vert}{1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1} & \class{bleu}{-1} & \class{vert}{-1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1} & \class{bleu}{1} & \class{vert}{-1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1} & \class{bleu}{-1} & \class{vert}{1}\\
 \end{pmatrix}}$$`
]
]

*3.* On confond C avec AB

`$$X = \overset{\color{gray}{\begin{matrix} I\hspace{.4cm}& A \hspace{.4cm} & B \hspace{.4cm} & \begin{matrix} \class{barre}{AB} \\ \class{vert} C \end{matrix} \end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1} & \class{bleu}{1} & \class{vert}{1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1} & \class{bleu}{-1} & \class{vert}{-1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1} & \class{bleu}{1} & \class{vert}{-1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1} & \class{bleu}{-1} & \class{vert}{1}\\
 \end{pmatrix}}$$`
]
]
 
--

*4.* Identification des confusions induites

C est  confondu avec AB, on écrit  
`$C = AB$`

---
template: plan_fractionnaire

## Retour sur le plan à 4 essais : `$2^{\class{rouge}{3}-\class{jaune}{1}}$`

on a donc `$C= AB$` donc `$CC = C(AB)= ABC$` donc `$I= ABC$`.

Ceci induit d'autres confusions:
.pull-left[

* `$A(I) = A(ABC)$` donc `$A = (AA)BC$` donc `$A = BC$`
]

--
.font80[

`$$X = \overset{\color{gray}{\begin{matrix} \begin{matrix} \class{rouge}{I} \\ \class{rouge}{ABC} \end{matrix} &\begin{matrix} \class{jaune}{A} \\ \class{jaune}{BC} \end{matrix}  & \begin{matrix} \class{bleu}{B} \\ \class{bleu}{AC} \end{matrix}  & \begin{matrix} \class{vert}{AB} \\ \class{vert} C \end{matrix} \end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1} & \class{bleu}{1} & \class{vert}{1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1} & \class{bleu}{-1} & \class{vert}{-1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1} & \class{bleu}{1} & \class{vert}{-1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1} & \class{bleu}{-1} & \class{vert}{1}\\
 \end{pmatrix}}$$`
]

`$$X = \overset{\color{gray}{\begin{matrix} \begin{matrix} \class{rouge}{I}\end{matrix} \hspace{.1cm}&\begin{matrix} \class{jaune}{A} \end{matrix} \hspace{.2cm} & \begin{matrix} \class{bleu}{B} \end{matrix}  \hspace{.2cm}& \begin{matrix}  \class{vert} C \end{matrix}\hspace{.2cm} & \begin{matrix} \class{vert}{AB}  \end{matrix} \hspace{.1cm}& \begin{matrix}  \class{bleu}{AC} \end{matrix} \hspace{.1cm}& \begin{matrix}  \class{jaune}{BC} \end{matrix} \hspace{.1cm}\begin{matrix} \class{rouge}{ABC}\end{matrix} \end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1} & \class{bleu}{1} & \class{vert}{1}& \class{vert}{1}& \class{bleu}{1}& \class{jaune}{1} & \class{rouge}{1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1} & \class{bleu}{-1} & \class{vert}{-1}& \class{vert}{-1}& \class{bleu}{1}& \class{jaune}{1} & \class{rouge}{1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1} & \class{bleu}{1} & \class{vert}{-1}& \class{vert}{-1}& \class{bleu}{-1}& \class{jaune}{-1} & \class{rouge}{1}\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1} & \class{bleu}{-1} & \class{vert}{1}& \class{vert}{1}& \class{bleu}{1}& \class{jaune}{-1} & \class{rouge}{1}\\
 \end{pmatrix}}$$`
]

---
template: plan_fractionnaire

## Plan fractionnaire `$2^{\class{rouge}{4}-\class{jaune}{1}}$`

4 facteurs en 8 essais

*1.* Choisir un plan de base en `$2^3$` essais

--
.pull-left[
*2.* Matrice des effets du modèle saturé correspondant

`$$X = \overset{\color{gray}{\begin{matrix} \begin{matrix} \class{rouge}{I}  \end{matrix}\hspace{.2cm}  &\begin{matrix} \class{jaune}{A} \end{matrix} \hspace{.2cm}  & \begin{matrix} \class{bleu}{B} \end{matrix} \hspace{.2cm} & \begin{matrix} \class{orange}{C} \end{matrix} \hspace{.2cm} &  & \begin{matrix} \class{vert}{AB} \end{matrix} \hspace{.1cm} &   \begin{matrix} \class{jaune}{AC} \end{matrix} \hspace{.1cm} & \begin{matrix} \class{bleuf}{BC} \end{matrix} \hspace{.1cm} &  \begin{matrix} {ABC} \end{matrix}   \end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{-1} & -1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{-1} & -1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{1}& -1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{-1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{-1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{1}& -1\\
 \end{pmatrix}}$$`
]
]

---
count: false
template: plan_fractionnaire

## Plan fractionnaire `$2^{\class{rouge}{4}-\class{jaune}{1}}$`

4 facteurs en 8 essais

*1.* Choisir un plan de base en `$2^3$` essais

`$$X = \overset{\color{gray}{\begin{matrix} \begin{matrix} \class{rouge}{I}  \end{matrix}\hspace{.2cm}  &\begin{matrix} \class{jaune}{A} \end{matrix} \hspace{.2cm}  & \begin{matrix} \class{bleu}{B} \end{matrix} \hspace{.2cm} & \begin{matrix} \class{orange}{C} \end{matrix} \hspace{.2cm} &  & \begin{matrix} \class{vert}{AB} \end{matrix} \hspace{.1cm} &   \begin{matrix} \class{jaune}{AC} \end{matrix} \hspace{.1cm} & \begin{matrix} \class{bleuf}{BC} \end{matrix} \hspace{.1cm} &  \begin{matrix} {ABC} \\ D \end{matrix}   \end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{-1} & -1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{-1} & -1\\ 
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{1}& -1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{-1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{-1}& \class{bleuf}{-1} & 1\\
\class{rouge}{1} & \class{jaune}{-1}& \class{bleu}{-1} & \class{orange}{-1} & \class{vert}{-1}& \class{jauneb}{1}& \class{bleuf}{1}& -1\\
 \end{pmatrix}}$$`
]
]

---
template: plan_fractionnaire

## Plan fractionnaire `$2^{\class{rouge}{4}-\class{jaune}{1}}$`

### Confusion d'effet (alias) et générateur d'alias

*4.* Confusions induites

* `$D = ABC$` donc `$DD = ABCD$` donc `$I=ABCD$`

`$ABCD$` est un .rouge[générateur d'alias]

* `$BI = BABCD$` donc `$B = ACD$`

* `$CI = CABCD$` donc `$C = ABD$` ]

* `$AD= AABC$` donc `$AD=BC$`

* `$BD= BABC$` donc `$BD=AC$`

* `$CD= CABC$` donc `$CD=AB$`

]

Les effets principaux sont confondus avec des interactions d'ordre 3

les interactions d'ordre 2 sont confondues avec d'autres interactions d'ordre 2

---
template: plan_fractionnaire

## Nombre de facteurs et nombre d'essais

Un plan est caractérisée par sa résolution :

### Des repères pour ne rien oublier

* Nombre de générateurs : `$2^{facteurs\ additionnels}-1$`
* Plan Résolution III : les effets principaux sont confondus avec les interactions d’ordre 2 ou plus
* Plan Résolution IV : les effets principaux sont confondus avec les interactions d’ordre 3 ou plus
* Plan Résolution V : les effets principaux sont confondus avec les interactions d’ordre 4 ou plus

---
template: plan_fractionnaire

## Soyons fous : plan fractionnaire `$2^{\class{rouge}{5}-\class{jaune}{2}}$`

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template: plan_fractionnaire

## Soyons fous : plan fractionnaire `$2^{\class{rouge}{5}-\class{jaune}{2}}$`

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# Dans une démarche expérimentale

1. On formalise la question, on identifie les facteurs potentiellement intéressants

2. On met en place le plan d'expérience

3. On réalise les manips

4. On analyse les résultats

---

# Ce qu'il faut absolument savoir pour les TDs

* Ecrire la matrice des essais et matrice des effets

* Déterminer les confusion d'effets et de générateurs d'alias

* La notion de résolution d'un plan