Analyse de la variance

# Analyse de la variance
## à 1 facteur
### Marie-Pierre Etienne
### <a href="https://github.com/marieetienne" class="uri">https://github.com/marieetienne</a>
### 2020/09/11 (updated: 2023-10-02)

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template: intro
## Un exemple jouet à but pédagogique

On a mesuré la fréquence cardiaque de 20 femmes et 20 hommes.

```r
library(coursesdata)
data(freqdata)
```

--
<p class="question"> Les hommes et les femmes ont-ils la même fréquence cardiaque au repos ?</p>

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template: intro
## Cas d'étude Chauve souris

- Des espèces avec différents régimes alimentaires.
- L'écho localisation (capacité auditive) est un sens essentiel pour les insectivores.

Hutcheon, Kirsch, and Garland [HKG02] ont recensé pour 63 espèces de chauves souris l'espèce, le régime alimentaire, le clade (groupe dans l'arbre phylogénétique), différentes variables morphologiques dont le volume du cerveau dédié à l'audition (AUD)

--
<p class="question"> Le volume de la partie auditive du cerveau est il lié au régime alimentaire ?</p>

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template: intro
## Cadre général du modèle d'analyse de la variance à 1 facteur
On étudie le lien entre  
- variable quantitative notée `$Y$` (la fréquence cardiaque, volume de cerveau),
- et une variable qualitative (un facteur) pourvant prendre `$I$` modalités (I=2 pour l'exemple 1 et I=4 dans l'exemple 2).

Les données peuvent être visualisées à l'aide d'un boxplot.

--
<p class="question"> La variable d'intérêt Y  est-elle en moyenne différente selon les différentes modalités ?</p>

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name: model
# Le modèle d'analyse de la variance à 1 facteur

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template: model

## Graphiquement

Une visalisation graphique du modèle d'analyse de la variance.

Comment imagine-t-on le processus aléatoire qui a conduit à nos données ?

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count: false

---
count: false

---
count:false

---

---
count: false

---
count: false

<img src="anova_files/figure-html/anova_versiongraphique_proba2_M0-1.png" width="60%" height="30%" style="display: block; margin: auto;" />
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template: model
count: false

<p class="question"> Au vu de nos données, le modèle M1 est-il plus pertinent que le modèle M0 ?</p>

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template: model

## Version régulière du modèle M1

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu_i, \sigma^2),$$`
avec 
- `$i=1,\ldots,I$` le numéro du groupe,
- `$k= 1,\ldots, n_i$` le numéro de l'individu dans le groupe `$i$`, 
- `$n_i$` le nombre d'individus dans le groupe `$i$` et `$n=\sum_i n_i$` le nombre total d'individus,
- `$\mu_i$` le comportement moyen du groupe `$i$`,
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Une écriture équivalente

`$$Y_{ik} = \mu_{i} + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0, \sigma^2).$$`

### Nombre de paramètres du modèle

- `$I$` paramètres de moyenne  `$(\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_I)$`; 
- 1 paramètre de variance `$\sigma^2$`

---
template: model

## Version régulière du modèle M1 sur l'exemple 1

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu_i, \sigma^2),$$`
avec  `$I=2$` et  la convention `$i=1$` pour les femmes et `$i=2$` pour les hommes.

```r
freqdata %>%group_by(Sexe) %>% summarise(n= n())
```

```
# A tibble: 2 × 2
  Sexe      n
  <chr> <int>
1 F        20
2 M        20
```
Ainsi 
- `$k=1, \ldots, n_i$`, avec `$n_1=20$` et `$n_2=20$` et `$n=40$`.
- `$\mu_1$` la fréquence cardiaque moyenne des femmes et `$\mu_2$` celle des hommes. 
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Nombre de paramètres
- 2 paramètres de moyenne
- 1 paramètre de variance

---
template: model
## Version singulière du modèle du modèle M1

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu + \alpha_i, \sigma^2),$$`
avec 
- `$i=1,\ldots,I$` le numéro du groupe,
- `$k= 1,\ldots, n_i$` le numéro de l'individu dans le groupe `$i$`, ( `$\sum_i n_i=n$` )
- `$\mu$` un comportement moyen de référence,
- `$\alpha_i$` un effet différentiel du groupe `$i$`par rapport à la référence,
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Une écriture équivalente

`$$Y_{ik} = \mu + \alpha_{i} + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0, \sigma^2).$$`

### Nombre de paramètres du modèle

- `$I+1$` paramètres de moyenne `$(\mu, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_I)$`,
- 1 paramètre de variance `$\sigma^2.$`

#### La version dans les logiciels et celle qui se généralise à plusieurs facteurs.

---
template: model
## Version singulière du modèle du modèle M1 sur l'exemple 1

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu + \alpha_i, \sigma^2),$$`
avec 
- `$I=2$` et  la convention `$i=1$` pour les femmes et `$i=2$` pour les hommes.
- `$k=1, \ldots, n_i$`, avec `$n_1=20$` et `$n_2=20$`
- `$\mu$` la fréquence cardiaque moyenne de référence <a class="care"> Référence à définir </a> 
- `$\alpha_1$`, l'effet différentiel d'être une femme par rapport à la différence et `$\alpha_2$` l'effet différentiel d'être un homme.
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Nombre de paramètres
- 3 paramètres de moyenne
- 1 paramètre de variance

---
template: model
## Lien entre les deux versions du même modèle

<table style="width:100%">
  <tr>
    <th>Groupe</th>
    <th>V. régulière</th>
    <th>V. singulière</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>1</td>
    <td> `$\mu_1$` </td>
    <td> `$\mu +\alpha_1$` </td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2</td>
    <td> `$\mu_2$` </td>
    <td> `$\mu +\alpha_2$` </td>
  </tr>
    <tr>
    <td> </td>
    <td>  </td>
    <td>   </td>
  </tr>
  </tr>
    <tr>
    <td> </td>
    <td>  </td>
    <td>   </td>
  </tr>
  </tr>
    <tr>
    <td> </td>
    <td>  </td>
    <td>   </td>
  </tr>
    <tr>
    <td>I</td>
    <td> `$\mu_I$` </td>
    <td> `$\mu +\alpha_I$` </td>
  </tr>
</table>

<a class=care> Problème </a> : Version régulière mal définie. Le modèle dans cette version est dit <a style="font-weight:400;"> indéterminé</a>.

--
####Exemple
Si `$\mu_1 =10,\ \mu_2=12,$` dans la forme singulière peut correspondre à

- `$\mu =10,\ \alpha_1=0, \ \alpha_2=2,$`
- ou `$\mu =0,\ \alpha_1=10, \ \alpha_2=12,$`
- ou `$\mu =11,\ \alpha_1=-1, \ \alpha_2=1,$`
- ou `$\mu =15,\ \alpha_1=-5, \ \alpha_2=-3,$`
- `$\ldots$`

--
<a class=care> Solution </a> : Choisir une contrainte. Par défaut dans R, `$\alpha_1=0$`. La référence est le comportement du groupe 1.

---
template: model
## Version singulière du modèle du modèle M1 en intégrant la contrainte par défaut

`$$Y_{ik} = \mu + \alpha_{i} + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0, \sigma^2).$$`

avec 
- `$i=1,\ldots,I$` le numéro du groupe,
- `$k= 1,\ldots, n_i$` le numéro de l'individu dans le groupe `$i$`, ($\sum_i n_i = n$ nombre total d'individus)
- `$\mu$` un comportement moyen de référence <a class=care> c'est celui du groupe 1</a>
- `$\alpha_1=0$`  la contrainte choisie, `$\alpha_1$` n'est plus un paramètre d'intérêt.
- `$\alpha_i, i\geq 2$` un effet différentiel du groupe `$i$`par rapport à la référence(i.e. le groupe 1)
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Nombre de paramètres du modèle

- `$I$` paramètres de moyenne `$(\mu,  \alpha_2, \ldots, \alpha_I)$`,
- 1 paramètre de variance `$\sigma^2.$`

---
template: model
## Version singulière du modèle du modèle M1 sur l'exemple 1  en intégrant la contrainte par défaut

`$$Y_{ik} \overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(\mu + \alpha_i, \sigma^2),$$`
avec 
- `$I=2$` et  la convention `$i=1$` pour les femmes et `$i=2$` pour les hommes.
- `$k=1, \ldots, n_i$`, avec `$n_1=20$` et `$n_2=20$`
- `$\mu$` la fréquence cardiaque moyenne des femmesei 
- `$\alpha_1$`, l'effet différentiel d'être une femme par rapport à la différence et `$\alpha_2$` l'effet différentiel d'être un homme.
- `$\sigma^2$` la variance commune à tous les groupes.

### Nombre de paramètres
- 3 paramètres de moyenne
- 1 paramètre de variance

---
template: model
## Sous forme matricielle
 `$$\bf{Y = X\theta + E}$$`
### Forme régulière

`$${\bf{Y}} = \overset{}{\begin{pmatrix}
Y_{11}\\
Y_{12}\\
Y_{13}\\
\vdots\\
Y_{1n_1}\\
Y_{21}\\
Y_{22}\\
\vdots\\
Y_{2n_2}\\
\vdots\\
Y_{In_I}\end{pmatrix}}, \quad
{\bf{X}} =\overset{\color{gray}{\begin{matrix}\mu_1 & \mu_2 & \ldots & \ldots &\mu_I\end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
\vdots\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
0 & 1 & 0 & \ldots 0 \\
0 & 1 & 0 & \ldots 0 \\\vdots\\
0 & 1 & 0 & \ldots 0 \\\vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots 1 \end{pmatrix}}, \quad
{\bf{\theta}} =\begin{pmatrix}
\mu_{1}\\
\mu_{2}\\
\vdots\\
\mu_I\end{pmatrix}, \quad{\bf{E}} =\begin{pmatrix}
E_{11}\\
E_{12}\\
E_{13}\\
\vdots\\
E_{1n_1}\\
E_{21}\\
E_{22}\\
\vdots\\
E_{2n_2}\\
\vdots\\
E_{In_I}\end{pmatrix}. \quad$$`

---
template: model
## Sous forme matricielle
 `$$\bf{Y = X\theta + E}$$`
### Forme singulière

`$${\bf{Y}} = \overset{}{\begin{pmatrix}
Y_{11}\\
Y_{12}\\
Y_{13}\\
\vdots\\
Y_{1n_1}\\
Y_{21}\\
Y_{22}\\
\vdots\\
Y_{2n_2}\\
\vdots\\
Y_{In_I}\end{pmatrix}}, \quad
{\bf{X}} =\overset{\color{gray}{\begin{matrix}\mu & \alpha_2 & \ldots & \ldots &\alpha_I\end{matrix}}}{\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
\vdots\\
1 & 0 & 0 & \ldots 0\\
1 & 1 & 0 & \ldots 0 \\
1 & 1 & 0 & \ldots 0 \\\vdots\\
1 & 1 & 0 & \ldots 0 \\\vdots\\
1 & 0 & 0 & \ldots 1 \end{pmatrix}}, \quad
{\bf{\theta}} =\begin{pmatrix}
\mu\\
\alpha\\
\vdots\\
\alpha_I\end{pmatrix}, \quad{\bf{E}} =\begin{pmatrix}
E_{11}\\
E_{12}\\
E_{13}\\
\vdots\\
E_{1n_1}\\
E_{21}\\
E_{22}\\
\vdots\\
E_{2n_2}\\
\vdots\\
E_{In_I}\end{pmatrix}. \quad$$`

---
count: false
template: model
## Déclinaisons sur l'exemple 1 (fréquence cardiaque)

#### Donner les dimensions de `$\bf{Y,\ X,\ \theta}$`  et `$\bf{E}$` (nombre de lignes et de colonnes)

#### Ecrire `$\theta$`

#### Expliquer comment construire `$\bf{X}$`

.footnote[
 Pour un rappel sur le produit matriciel : [Wkipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_matriciel)
]

---
class: inverse
name: pause
# Pause

<br><br><br><br>
<p style="color:#B40F20;font-size:35px;text-align:center;">Prenons une petite pause !!!</p>

---
name: parametre
# Etude des paramètres du modèle

---
template: parametre
## Quelques précisions de notations et de vocabulaires

- Les données observées (les valeurs prises par la variable `$Y$` ) : `$\bf{y}=(y_{11}, y_{12}, \ldots, y_{I n_I}).$`

- En refaisant la même expérience, on obtiendrait d'autres valeurs (liées àaux choix d'individus différents par exemple, ou mesuré un autre jour, ...), on va noter `$Y_{ik}$` la variable aléatoire qui décrit la loi des valeurs possibles pour l'individu k du groupe i.

<br>
<a class=care> les minuscules notent des valeurs, les majuscules des variables aléatoires. </a>
<br>

Les paramètres du modèle  sont inconnus. Ils sont notés par des lettres grecques `$\bf{\theta}$`, `$\mu, \alpha, \dots$`.

On veut en donner une estimation à partir des données observées ( `$\bf{y}$`). Les estimations des paramètres sont notées par les mêmes lettres décorées d'un chapeau `$\bf{\hat{\theta}}, \hat{\mu}, \hat{\alpha}, \dots$`.

L'estimateur d'un paramètre est la variable aléatoire correspondante. Il sera noté en majuscule avec une lettre latine. Par exemple, l'etimateur de `$\theta$` sera noté `$T$`, l'estimateur de `$\mu$` sera noté `$M$` et l'estimateur de `$\alpha_1$` sera noté `$A_1$`.

---
template: parametre
## Estimation des paramètres du modèle version régulière

`$$Y_{ik} = \mu_i + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0,\sigma^2).$$`

### Estimation

`$\mu_i$` représente le comportement moyen de l'ensemble des individus du groupe `$i$`.  On peut l'estimer par `$\hat{\mu}_i = \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} y_{ik}$`

### Estimateur

L'estimateur de `$\mu_i$` est donc défini par `$M_i= \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} Y_{ik},$`  c'est une variable aléatoire

--
- de loi normale (somme de variables normales)

--
- d'espérance `$\mathbb{E}(M_i) = \mathbb{E}\left( \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} Y_{ik}\right) =  \frac{1}{n_i} \sum_{k=1}^{n_i} \mathbb{E}(Y_{ik}) =\mu_i.$` 
--
<a class=care> C'est un estimateur sans biais</a>
--

- de variance `$\mathbb{V}(M_i) = \mathbb{V}\left( \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} Y_{ik}\right) =  \frac{1}{n_i^2} \sum_{k=1}^{n_i} \mathbb{V}(Y_{ik}) = \frac{\sigma^2}{n_i}$`
--
<a class=care> la variance de l'estimateur diminue quand le nombre de personnes dans le groupe augmente.</a>
--

`$$M_i \sim\mathcal{N}\left(\mu_i, \frac{\sigma^2}{n_i}\right).$$`

---
template: parametre
## Estimation des paramètres du modèle version singulière avec la contrainte par défaut

`$$Y_{ik} = \mu + \alpha_i + E_{ik}, \quad E_{ik}\overset{ind}{\sim}\mathcal{N}(0,\sigma^2).$$`

### Estimation

- `$\mu$` représente le comportement moyen du groupe 1 (groupe de référence) : `$\hat{\mu} = \frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1} y_{1k}$`
--

- `$\mu + \alpha_i = \mu_i$`, donc  `$\alpha_i = \mu_i -\mu$` ,représente l'effet différentiel du groupe i par rapport au groupe de référence.  `$\hat{\alpha_i} = \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} y_{1k} - \hat{\mu}$`

### Estimateur

L'estimateur de `$\mu$` est donc défini par `$M= \frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1} Y_{1k}.$`

`$$M \sim\mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n_1}\right).$$`

L'estimateur de `$\alpha_i$` est donc défini par `$A_i= \frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i} Y_{ik} - \frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1} Y_{1k}.$`

`$$A_i \sim\mathcal{N}\left(\alpha_i, \sigma^2\left(\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_1}\right) \right).$$`

---
template: parametre
## Estimation des paramètres pour l'exemple 1.

### Ce qu'on doit trouver

`$$\hat{\mu} =\frac{1}{20}\sum_{k=1}^{20} y_{1k}, \quad \hat{\alpha}_2 =\frac{1}{20}\sum_{k=1}^{20} y_{2k} - \frac{1}{20}\sum_{k=1}^{20} y_{1k}$$`

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>% summarise(m = mean(freqC), n= n())
```

```
# A tibble: 2 × 3
  Sexe      m     n
  <chr> <dbl> <int>
1 F      84.3    20
2 M      84.6    20
```

`$\hat{\mu} =$` 84.3 et `$\hat{\alpha}_2=$` 0.25.

---
count: false
template: parametre
## Estimation des paramètres pour l'exemple 1.

### Ce qu'on doit trouver

`$\hat{\mu} =$` 84.3 et `$\hat{\alpha}_2=$` 0.25.

### Estimer avec R

```r
M1 <- lm(freqC ~ Sexe, data = freqdata)
summary(M1)$coefficients
```

```
            Estimate Std. Error    t value     Pr(>|t|)
(Intercept)    84.30  0.9025913 93.3977539 1.649393e-46
SexeM           0.25  1.2764569  0.1958546 8.457675e-01
```

---
count: false
template: parametre
## Estimation des paramètres pour l'exemple 1.

```r
M1 <- lm(freqC ~ Sexe, data = freqdata)
summary(M1)
```

```

Call:
lm(formula = freqC ~ Sexe, data = freqdata)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-8.550 -2.737 -0.425  2.513  8.700

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  84.3000     0.9026  93.398   <2e-16 ***
SexeM         0.2500     1.2765   0.196    0.846    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.037 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.001008,	Adjusted R-squared:  -0.02528 
F-statistic: 0.03836 on 1 and 38 DF,  p-value: 0.8458
```

---
template: parametre
## Retour sur la méthode d'estimation - Somme des carrés résiduel (RSS)

Naturellement, on a choisi d'estimer  `$\mu_i$` par `$\frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_1} y_{ik}.$`

En fait, `$\hat{\mu}_i$` est choisi pour minimiser `$RSS_{obs}$`, la somme observée des erreurs au carré  donnée par

`$$RSS_{obs} = \sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (y_{ik} - \hat{\mu}_i)^2.$$` 
--

Le modèle d'analyse de la variance 
`$$Y_{ik} =\mu_i +E_{ik}.$$`
Pour un nouvel individu `$k_0$` dans le groupe `$i$`, le modèle prédit que sa fréquence cardiaque sera `$\hat{y}_{ik_0}=\hat{\mu}_i$`.

`$RSS_{obs}$` se réécrit dans un cadre général comme

`$$RSS_{obs} = \sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (y_{ik} - \hat{y}_{ik})^2.$$`

`$$RSS = \sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (Y_{ik} - \hat{Y}_{ik})^2.$$`

---
template: parametre

## Loi de RSS

`$$\frac{RSS}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-I).$$`

### D'où vient ce `$n-I$` ?

La variabilité totale des erreurs est donnée par

`$$\sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (Y_{ik} - \mu_i)^2= \sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} (E_{ik})^2,$$`
C'est la somme de n variables aléaoires normales centrées de variance `$\sigma^2$`, donc

`$$\sum_{i=1}^I \sum_{k=1}^{n_i} \left( \frac{E_{ik}}{\sigma}\right)^2 \sim\chi^2(n).$$`
--

Mais les `$\mu_i$` sont inconnus, on les remplace par leur estimateurs  `$M_i.$`

Chaque fois que l'on doit remplacer un paramètre de moyenne par son estimateur, on perd un degré de liberté. Ici on a estimé `$I$` paramètres de moyenne, d'où le `$n-I$`.

---
template: parametre
## Le paramètre de variance

Rappel:

Si une variable `$U\sim\chi^2(l)$` alors `$\mathbb{E}(U)=l$`.

Alors `$\mathbb{E}\left( \frac{RSS}{\sigma^2} \right) = n-I,$` donc  `$\mathbb{E}\left( \frac{RSS}{n-I} \right) = \sigma^2.$`

## Estimateur de la variance

$$S^2 =\frac{1}{n-I} RSS, $$
est un <a class=care> estimateur sans bias de  `$\sigma^2$` </a> .

## Estimation de `$\sigma^2$`

`$$\hat{\sigma}^2 =\frac{1}{n-I} RSS_{obs}.$$`

---

```r
*freqdata %>%  group_by(Sexe)
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
# A tibble: 40 × 3
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe 
  <dbl> <int> <chr>
1    82     1 M    
2    82     1 F    
3    77     1 M    
4    79     1 F    
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
* mutate(yhat =  mean(freqC))
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
# A tibble: 40 × 4
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe   yhat
  <dbl> <int> <chr> <dbl>
1    82     1 M      84.6
2    82     1 F      84.3
3    77     1 M      84.6
4    79     1 F      84.3
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
  mutate(yhat =  mean(freqC)) %>%
* mutate( Ehat = freqC-yhat,Ehat_2 = Ehat^2)
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
# A tibble: 40 × 6
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe   yhat  Ehat Ehat_2
  <dbl> <int> <chr> <dbl> <dbl>  <dbl>
1    82     1 M      84.6 -2.55   6.50
2    82     1 F      84.3 -2.30   5.29
3    77     1 M      84.6 -7.55  57.0 
4    79     1 F      84.3 -5.3   28.1 
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
  mutate(yhat =  mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC-yhat,Ehat_2 = Ehat^2) %>%
* ungroup %>% summarise(RSSobs=sum(Ehat_2)) %>% as.numeric() -> RSSobs
*RSSobs
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
[1] 619.15
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
  mutate(yhat =  mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC-yhat,Ehat_2 = Ehat^2) %>%
  ungroup %>% summarise(RSSobs=sum(Ehat_2)) %>% as.numeric() -> RSSobs
RSSobs
*sigma2_hat <- RSSobs / (nrow(freqdata) - 2)
*sigma2_hat
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
[1] 619.15
```

```
[1] 16.29342
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>%  group_by(Sexe) %>%
  mutate(yhat =  mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC-yhat,Ehat_2 = Ehat^2) %>%
  ungroup %>% summarise(RSSobs=sum(Ehat_2)) %>% as.numeric() -> RSSobs
RSSobs
sigma2_hat <- RSSobs / (nrow(freqdata) - 2)
sigma2_hat
*sigma_hat <- sqrt(sigma2_hat)
*sigma_hat
```
]
 
.panel2-var_est-user[

```
[1] 619.15
```

```
[1] 16.29342
```

```
[1] 4.036511
```
]

---

### On doit trouver

`$\hat{\sigma}=$` 4.036511.

### Avec R

```r
M1 <- lm(freqC ~ Sexe, data = freqdata)
```

```r
summary(M1)$sigma
```

```
[1] 4.036511
```

---
count: false
template: parametre
## Estimation du paramètre de variance sur l'exemple 1

### On doit trouver

`$\hat{\sigma}=$` 4.036511.

```r
summary(M1)
```

```

Call:
lm(formula = freqC ~ Sexe, data = freqdata)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-8.550 -2.737 -0.425  2.513  8.700

Residual standard error: 4.037 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.001008,	Adjusted R-squared:  -0.02528 
F-statistic: 0.03836 on 1 and 38 DF,  p-value: 0.8458
```

---
template: parametre
## Visualisation graphique des paramètres estimés

---

---
count: false

---
count: false

---
template: parametre
## Estimation des paramètres du modèle version matricielle

Le modèle sous forme matricielle s'écrit

`$$\bf{Y = X\theta + E}.$$`
--

### Estimation de `$\theta$`

`$$\hat{\theta} = (X^\intercal X )^{-1} X^\intercal Y_{obs}.$$`

### Estimateur de `$\theta$`

`$$\hat{\theta} = (X^\intercal X )^{-1} X^\intercal Y.$$`
--

### Loi de l'estimateur de `$\theta$`

`$$T = (X^\intercal X )^{-1} X^\intercal Y \sim \mathcal{N}_{I}\left(\theta, \sigma^2 (X^\intercal X )^{-1}\right).$$`
--

Cette approche très mathématique est utile pour la généralisation, on aura l'occasion d'y revenir !!

---
template: parametre
### Déclinaison sur les exemples

A partir des données de chauve souris, ajuster un modèle  permettant d'expliquer le volume de la partie Auditive (AUD) en fonction du régime.

Il ne s'agit pas de refaire les calculs à la main, mais uniquement d'utiliser la fonction `lm`. 
### Méfiez vous

- vérifier les degrés de liberté et le nom des paramètres
- Si quelque chose cloche, vérifier la nature de la variable Diet
- On peut transformer une variable en facteur à l'aide de la fonction `as.factor`.

---
template: pause

---
name: modcomp
# Test du modèle complet

---
template: modcomp
## Rappel exemple fréquence cardiaque (exemple 1)

On a mesuré la fréquence cardiaque de 20 femmes et 20 hommes.

--
<p class="question"> Les hommes et les femmes ont-ils la même fréquence cardiaque au repos ?</p>

---
template: modcomp
## Rappel exemple fréquence cardiaque (exemple 1)

<p class="question"> Les hommes et les femmes ont-ils la même fréquence cardiaque au repos ?</p>

Autrement dit

---
template: modcomp

---
template: modcomp
## Test de l'existence d'un effet

<p class="question"> Le comportement moyen de la variable `$Y$` est il différent selon les différentes modalités de la variable explicative ?</p>

Deux modèles possibles
`$$M1 : Y_{ik} = \mu  + \alpha_i + E_{ik},\quad  M0: Y_{ik} = \mu  + E_{ik}$$`

<p class="question"> Le modèle M1 est il plus pertinent que le modèle M0?</p>

---
template: modcomp
## Mesurer la variabilité expliquée par le modèle M1

### Variabilité totale dans les données

`$$RSS_{0, obs} = \sum_{i=1}^{I} \sum_{k=1}^{n_i} (y_{ik} - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{I} \sum_{k=1}^{n_i} (y_{ik} - \hat{y}_{ik}^{(0)})^2.$$` 
--

### Variabilité résiduelle dans le modèle M1

`$$RSS_{1, obs} = \sum_{i=1}^{I} \sum_{k=1}^{n_i}  ( y_{ik} - (\hat{\mu} +\hat{\alpha}_i))^2 = \sum_{i=1}^{I} \sum_{k=1}^{n_i}  ( y_{ik} - \hat{y}_{ik}^{(1)})^2.$$` 
--

### Variabilité expliquée par le modèle M1

`$$SCM = SS_{M1,obs} =  RSS_{0, obs} - RSS_{1, obs}.$$` 
C'est la quantité de variabilité expliquée par les différence entre les I populations.

<p class=care> Si la variabilité expliquée par le modèle `$M1$` est grande, on gagne à considérer des ppopulations différentes <p>

On a mis en évidence des différences entre les populations.

---
template: modcomp
## Calcul de RSS sur l'exemple 1

A la main :

---

```r
*freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
* mutate(m= mean(freqC))
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
# A tibble: 40 × 4
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe      m
  <dbl> <int> <chr> <dbl>
1    82     1 M      84.6
2    82     1 F      84.3
3    77     1 M      84.6
4    79     1 F      84.3
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
* mutate( Ehat = freqC - m)
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
# A tibble: 40 × 5
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe      m  Ehat
  <dbl> <int> <chr> <dbl> <dbl>
1    82     1 M      84.6 -2.55
2    82     1 F      84.3 -2.30
3    77     1 M      84.6 -7.55
4    79     1 F      84.3 -5.3 
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
* mutate( E2hat = Ehat^2)
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
# A tibble: 40 × 6
# Groups:   Sexe [2]
  freqC Sport Sexe      m  Ehat E2hat
  <dbl> <int> <chr> <dbl> <dbl> <dbl>
1    82     1 M      84.6 -2.55  6.50
2    82     1 F      84.3 -2.30  5.29
3    77     1 M      84.6 -7.55 57.0 
4    79     1 F      84.3 -5.3  28.1 
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
* ungroup()
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
# A tibble: 40 × 6
  freqC Sport Sexe      m  Ehat E2hat
  <dbl> <int> <chr> <dbl> <dbl> <dbl>
1    82     1 M      84.6 -2.55  6.50
2    82     1 F      84.3 -2.30  5.29
3    77     1 M      84.6 -7.55 57.0 
4    79     1 F      84.3 -5.3  28.1 
# … with 36 more rows
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
* summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
[1] 619.15
```
]

---
count: false

]

---
count: false

```
   freqC Sport Sexe      m
1     82     1    M 84.425
2     82     1    F 84.425
3     77     1    M 84.425
4     79     1    F 84.425
5     81     1    M 84.425
6     83     1    F 84.425
7     76     1    M 84.425
8     80     1    F 84.425
9     80     2    M 84.425
10    83     2    F 84.425
11    83     2    M 84.425
12    81     2    F 84.425
13    81     2    M 84.425
14    84     2    F 84.425
15    80     2    M 84.425
16    82     2    F 84.425
17    88     3    M 84.425
18    81     3    F 84.425
19    87     3    M 84.425
20    83     3    F 84.425
21    86     3    M 84.425
22    83     3    F 84.425
23    87     3    M 84.425
24    83     3    F 84.425
25    85     4    M 84.425
26    85     4    F 84.425
27    84     4    M 84.425
28    86     4    F 84.425
29    87     4    M 84.425
30    87     4    F 84.425
31    85     4    M 84.425
32    85     4    F 84.425
33    92     5    M 84.425
34    88     5    F 84.425
35    91     5    M 84.425
36    93     5    F 84.425
37    90     5    M 84.425
38    88     5    F 84.425
39    89     5    M 84.425
40    90     5    F 84.425
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
* mutate( Ehat = freqC - m)
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
   freqC Sport Sexe      m   Ehat
1     82     1    M 84.425 -2.425
2     82     1    F 84.425 -2.425
3     77     1    M 84.425 -7.425
4     79     1    F 84.425 -5.425
5     81     1    M 84.425 -3.425
6     83     1    F 84.425 -1.425
7     76     1    M 84.425 -8.425
8     80     1    F 84.425 -4.425
9     80     2    M 84.425 -4.425
10    83     2    F 84.425 -1.425
11    83     2    M 84.425 -1.425
12    81     2    F 84.425 -3.425
13    81     2    M 84.425 -3.425
14    84     2    F 84.425 -0.425
15    80     2    M 84.425 -4.425
16    82     2    F 84.425 -2.425
17    88     3    M 84.425  3.575
18    81     3    F 84.425 -3.425
19    87     3    M 84.425  2.575
20    83     3    F 84.425 -1.425
21    86     3    M 84.425  1.575
22    83     3    F 84.425 -1.425
23    87     3    M 84.425  2.575
24    83     3    F 84.425 -1.425
25    85     4    M 84.425  0.575
26    85     4    F 84.425  0.575
27    84     4    M 84.425 -0.425
28    86     4    F 84.425  1.575
29    87     4    M 84.425  2.575
30    87     4    F 84.425  2.575
31    85     4    M 84.425  0.575
32    85     4    F 84.425  0.575
33    92     5    M 84.425  7.575
34    88     5    F 84.425  3.575
35    91     5    M 84.425  6.575
36    93     5    F 84.425  8.575
37    90     5    M 84.425  5.575
38    88     5    F 84.425  3.575
39    89     5    M 84.425  4.575
40    90     5    F 84.425  5.575
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
* mutate( E2hat = Ehat^2)
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
   freqC Sport Sexe      m   Ehat     E2hat
1     82     1    M 84.425 -2.425  5.880625
2     82     1    F 84.425 -2.425  5.880625
3     77     1    M 84.425 -7.425 55.130625
4     79     1    F 84.425 -5.425 29.430625
5     81     1    M 84.425 -3.425 11.730625
6     83     1    F 84.425 -1.425  2.030625
7     76     1    M 84.425 -8.425 70.980625
8     80     1    F 84.425 -4.425 19.580625
9     80     2    M 84.425 -4.425 19.580625
10    83     2    F 84.425 -1.425  2.030625
11    83     2    M 84.425 -1.425  2.030625
12    81     2    F 84.425 -3.425 11.730625
13    81     2    M 84.425 -3.425 11.730625
14    84     2    F 84.425 -0.425  0.180625
15    80     2    M 84.425 -4.425 19.580625
16    82     2    F 84.425 -2.425  5.880625
17    88     3    M 84.425  3.575 12.780625
18    81     3    F 84.425 -3.425 11.730625
19    87     3    M 84.425  2.575  6.630625
20    83     3    F 84.425 -1.425  2.030625
21    86     3    M 84.425  1.575  2.480625
22    83     3    F 84.425 -1.425  2.030625
23    87     3    M 84.425  2.575  6.630625
24    83     3    F 84.425 -1.425  2.030625
25    85     4    M 84.425  0.575  0.330625
26    85     4    F 84.425  0.575  0.330625
27    84     4    M 84.425 -0.425  0.180625
28    86     4    F 84.425  1.575  2.480625
29    87     4    M 84.425  2.575  6.630625
30    87     4    F 84.425  2.575  6.630625
31    85     4    M 84.425  0.575  0.330625
32    85     4    F 84.425  0.575  0.330625
33    92     5    M 84.425  7.575 57.380625
34    88     5    F 84.425  3.575 12.780625
35    91     5    M 84.425  6.575 43.230625
36    93     5    F 84.425  8.575 73.530625
37    90     5    M 84.425  5.575 31.080625
38    88     5    F 84.425  3.575 12.780625
39    89     5    M 84.425  4.575 20.930625
40    90     5    F 84.425  5.575 31.080625
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
* summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
[1] 619.775
```
]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
* RSSM0
*SSM <- RSSM0 - RSSM1
```
]
 
.panel2-rss-user[

]

---
count: false

```r
freqdata %>% group_by(Sexe) %>%
  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM1
freqdata %>%  mutate(m= mean(freqC)) %>%
  mutate( Ehat = freqC - m) %>%
  mutate( E2hat = Ehat^2) %>%
  summarise(RSSM1 =sum(E2hat)) %>% as.numeric()->
  RSSM0
SSM <- RSSM0 - RSSM1
*SSM
```
]
 
.panel2-rss-user[

```
[1] 0.625
```
]

```
[1] 0.625
```

---
template: modcomp
## Calcul de RSS sur l'exemple 1

```r
M1 <- lm(freqC ~ Sexe, data= freqdata)
M0 <- lm(freqC ~ 1, data= freqdata)
anova(M0, M1)
```

```
Analysis of Variance Table

Model 1: freqC ~ 1
Model 2: freqC ~ Sexe
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     39 619.77                           
2     38 619.15  1     0.625 0.0384 0.8458
```

---
template: modcomp
## Quand décider si `$SS_{M1, obs}$` est grande ?

--
C'est le rôle du test statistique.

Idée de démarche:

- Décrire quelle gamme de valeurs pourrait prendre SSM dans le cas où il n'y pas de différence entre les groupes 
- Comparer avec ce qu'on constate sur nos données
- 
    - Si c'est comparable, pas de raison de penser qu'il y a des différences entre les groupes,
    - Si c'est surprenant, les groupes sont vraisemblablement différentes.

On veut décrire comment varie `$SS_{M1, obs}$` dans la situation où il n"y a pas de différence entre les groupes.

On travaille donc sous l'hypothèse 
`$$H_0 =\left \lbrace \mbox{Pas de différence entre les groupes }\right\rbrace$$`

`$$H_0 =\left \lbrace  \mbox{pour tout }i, \alpha_i =0  \right\rbrace$$`

`$$H_0 =\left \lbrace  M1 \mbox{ est équivalent à } M0 \right\rbrace.$$`

---
template: modcomp
## Hypothèses du test

On va donc opposer une hypothèse de travail `$H_0$` contre une hypothèse alternative `$H_1$`. `$H_0$` peut donc prendre différentes formes:

`$$\begin{align} 
H_0 & =\left \lbrace \mbox{Pas de différence entre les groupes }\right\rbrace\\
    & =\left \lbrace  \mbox{pour tout }i, \alpha_i =0  \right\rbrace\\
    & =\left \lbrace  M1 \mbox{ est équivalent à } M0 \right\rbrace.
\end{align}$$`

`$H_1$` prend les formes équivalentes suivantes

`$$\begin{align} 
H_1 & =\left \lbrace \mbox{Au moins 1 groupe est différent des autres}\right\rbrace\\
    & =\left \lbrace  \mbox{Il existe un }i, \alpha_i  \ne 0  \right\rbrace\\
    & =\left \lbrace  M1 \mbox{ est préférable à } M0 \right\rbrace.
\end{align}$$`

---
template: modcomp
## Loi de la statistique de test sous `$H_0$`

Il faut être capable de décrire quelles sont les valeurs possibles de `$SS_{M1, obs}$`, pour ceci il faut connaitre la loi de la variable aléatoire `$SS_{M1}$`.

-
On peut montrer que sous `$H_0$`,

`$$\frac{SS_{M1}}{\sigma^2} \underset{H_0}{\sim}\chi^2(I-1)$$`

--
Mais `$\sigma^2$` est inconnu, on a envie de le remplacer par son estimateur `$RSS / (n-I).$`

<p class=question> 
Sous `$H_0$`, 
`$$F= \frac{\frac{SS_{M1}}{I-1}}{\frac{RSS}{n-I}} \underset{H_0}{\sim}\mathcal{F}(I-1, n-I)$$`  
</p>

---
template: modcomp
## Loi de la statistique de test sous `$H_0$` - graphiquement

Sous `$H_0$` la loi de distribution de `$F$` est

---

---
count: false

---
count: false

---
template: modcomp

## Proabilité critique

La probabilité critique ( p-value en anglais) est définie par

$$ \mathbb{P}(F> F_{obs} \vert H_0)$$

Grossièrement dit, c'est la,probabilité d'observer Fobs ou des valeurs encore plus extrèmes sous `$H_0$`.

On va rejeter `$H_0$` lorsque la probabilité critique est faible (typiquement inférieure à 5%). La valeur de la statistique de test observée est peu compatible avec l'hypothèse `$H_0$`. On ne croit pas à `$H_0$`.

---
template: modcomp
## Déclinaison sur l'exemple Fréquence cardiaque

```r
anova(M0,M1)
```

```
Analysis of Variance Table

Model 1: freqC ~ 1
Model 2: freqC ~ Sexe
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     39 619.77                           
2     38 619.15  1     0.625 0.0384 0.8458
```

<img src="anova_files/figure-html/pvalue_graphique-ex_FC-1.png" width="60%" height="30%" style="display: block; margin: auto;" />
---
template: modcomp
## Sur l'exemple chauve souris

### Pouvez vous répondre à la question

<a class=question> Y a-t-il un effet du régime alimentaire sur le volume de la partie auditive du cerveau ? </a>

---
template: pause

---
name: test_param
# Test sur un paramètre

---
template: test_param
## Réflexion sur le sens de ce test

`$$Y_{ik} = \mu +\alpha_i + E_{ik}, \quad i=1,\ldots I,\ k=1,\ldots, n_i.$$`
Par défaut, R propose pour chaque coefficient le test de l'hypothèse `$H_0\ :\ \left\lbrace\mbox{ le coefficient est nul } \right\rbrace$`.

Que signifie ce test ?

- pour `$\mu$`
- pour `$\alpha_i$`

<a class=care> Attention, le sens de ce test dépend  de la contrainte choisie </p>

---
template: test_param
## Loi de la statistique de test

### Sur le cas particulier de `$\mu$`

On a vu que l'estimateur `$M$` de `$\mu$` avait pour loi

$$ M\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2 \frac{1}{n_1})$$

Sous l'hypothèse `$H_0:\left\lbrace \mu = 0\right\rbrace,$`

$$ M\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 \frac{1}{n_1}), $$
--
et donc

$$ \sqrt{n_1}\, \frac{M}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0, 1), $$
- On a donc envie de vérifier si la valeur `$\hat{\mu}$` (renormalisée par l'écart type et la taille du groupe) observé sur l'échantillon est compatible avec une loi normale centrée réduite.

Malheureusemet `$\sigma$` est inconnu.

---
template: test_param
## Loi de la statistique de test

### Sur le cas particulier de `$\mu$`

On a vu que l'estimateur `$M$` de `$\mu$` avait pour loi

$$ M\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2 \frac{1}{n_1})$$

Sous l'hypothèse `$H_0:\left\lbrace \mu = 0\right\rbrace,$`

$$ M\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 \frac{1}{n_1}), $$
et donc

$$ \sqrt{n_1}\, \frac{M}{S}\sim \mathcal{T}(n-I). $$

---
template: test_param
## Loi de la statistique de test

$$ Y = X\theta +E$$

### Plus généralement

On a vu que l'estimateur `$T$` de `$\theta$` avait pour loi

$$ T\sim \mathcal{N}(\theta, \sigma^2 (X X^\intercal)^{-1})$$

Si on s'intéresse au `$\mbox{j}^\mbox{eme}$` terme du vecteur `$\theta$`  ( `$\theta_j$` ):

sous l'hypothèse `$H_0:\left\lbrace \theta_j = 0\right\rbrace,$`

$$ T_j\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2  c_j), $$
où `$c_j$` est une constante connue qui dépend de la matrice `$X$` (cette constante valait `$1/n_1$` dans le cas particulier de `$\mu$`.)

$$  \frac{T_j}{\sqrt{c_j} S}\sim \mathcal{T}(n-I). $$

---
template: test_param
## Loi de la statistique de test

### Hypothèses de test

`$$H_0 = \left \lbrace \theta_j = 0 \right\rbrace\quad \mbox{contre} \quad H_1 = \left \lbrace \theta_j \ne 0 \right\rbrace.$$`

### Loi de la statistique de  test sous `$H_0$`

$$  \frac{T_j}{\sqrt{c_j} S}\sim \mathcal{T}(n-I). $$

### Définition de la p-value

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
count: false

---
template: test_param

## Déclinaison sur les exemples

### test `$\mu = 0$` .

- `$\hat{\sigma}=$` 4.037.
- `$\sqrt{c_j}\hat{\sigma}=$` 0.903,
- `$t_{j,obs}=$` 93.398,
- p-value= 0,

```r
summary(M1)
```

```

Call:
lm(formula = freqC ~ Sexe, data = freqdata)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-8.550 -2.737 -0.425  2.513  8.700

Residual standard error: 4.037 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.001008,	Adjusted R-squared:  -0.02528 
F-statistic: 0.03836 on 1 and 38 DF,  p-value: 0.8458
```

---
name: diagnostic 
# Diagnostic du modèle

---
template: dignostic
## Le coefficient de détermination

`$$R^2 = 1 - \frac{ RSS}{RSS_0} =  \frac{SS_{M1}}{RSS_0}$$`

Le pourcentage de variablité capturé par le modèle.

Ce coefficient augmente systématiquement avec le nombre de paramètres dans le modèle.

--
## Le coefficient de détermination ajusté

`$$R^2_{adj} = 1 - \frac{ \frac{RSS}{n-I}}{\frac{RSS_0}{n-1}}$$`
est un indicateur du degré d'ajustement du modèle en pénalisant par le nombre de variables.

---
template: diagnostic
## Vérification graphique des hypothèses de modélisation

```r
library(ggfortify)
autoplot(M1)
```

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# Démarche complète d'analyse à partir de l'exemple des chauves souris

Une question initiale :  Le volume auditif dépend il de régime alimentaire. 
- Représenter les données en fonction des questions qu'on se pose.
- Ecrire le modèle 
- Traduire la question en 1 ou plusieurs tests statistiques
- Apporter une réponse concrète

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# Bilan sur le modèle d'analyse de la variance à 1 facteur

### But 
Etudier le lien entre une variable quantitative (la fréquence cardiaque) et un facteur (le Sexe).

## Le modèle 
`$$Y_{ik} = \mu + \alpha_i + E_{ik}$$`
avec `$\mu$` le comportement de référence et `$\alpha_i$` l'effet différentiel du groupe `$i$`  par rapport à la référence.

La référence est définie par la contrainte choisie. R par défaut choisit la contrainte `$\alpha_1=0$`, ce qui place le groupe 1 comme groupe de référence.

Le modèle d'analyse de la variance à un facteur est un modèle linéaire et peut se mettre sous la forme générique 
`$$Y = X\theta +E$$`

## Tests
Pour comparer des modèles ( pour tester un potentiel effet du facteur),

Sur un  paramètre  pvaut une valeur donnée (par défaut R teste systématiquement si un paramètre vaut 0)
- on doit vérifier que les hypothèses de modélisation ne sont pas trop fausses.

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template: pause

Avant de passer à l'analyse de variance à deux facteurs ...
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