Sources

Ce cours est construit à partir du livre de Cressie (2015) et de l’article Ver Hoef, Hanks, and Hooten (2018)

Exemple illustratif

On s’intéresse aux données de mort subite du nourrisson en Caroline du Nord en 1974 (exemple extrait du livre de Cressie (2015)). Les données sont disponibles dans le package sf

Les données sont ici des comptages par counties, mais on peut imaginer des prix au m2 par IRIS, des taux de chomage par IRIS etc ….

On cherche typiquement à ajuster un modèle de régression pour trouver des covariables liées au phénomène d’intérêt.

Pourquoi faire attention à la corrélation spatiale

Un exemple

\[Y_t = \rho Y_{t-1} +\varepsilon_t\]

            Estimate Std. Error  t value     Pr(>|t|)
(Intercept) 1.871456  0.3667672 5.102571 1.619417e-06

Quelques remarques

• Processus spatial est défini sur une grille : pas de réalisation possible entre deux localisation.

• on note \(D\) l’ensemble des points de la grille

• On souhaite construire un modèle pour décrire la distribution du processus \(Z\) en tout point \(s\) de \(D\)

Champs de Markov sur un réseau

Rappel: Si \((X_0,\ldots ,X_n, \ldots)\) est une chaîne de Markov, alors \[\mathcal{L} \left ( X_{n+1} \vert X_{0:n}\right) = \mathcal{L} \left ( X_{n+1} \vert X_{n}\right)\]

Question : Etendre la propriété de Markov lorsque l’on n’a pas le sents du temps.

Structure de graphes sur une grille régulière

Représentation sous forme de graphe

Que faire dans le cas des counties – grille non régulière

On est voisin si on se touche

Que faire dans le cas des counties – grille non régulière

On est voisin si on se touche

Que faire dans le cas des counties – grille non régulière

On a au plus 3 voisins

Champs de Markov

Definition

• \((X_s, s\in D)\) est un champs de Markov si

\[\mathcal{L} \left ( X_{s} \vert X^s \right) = \mathcal{L} \left ( X_{s} \vert X_{\partial_s}\right)\] * Pour définir un champs de Markov, on définit des lois conditionnelles mais encore faut-il que la loi jointe existe !

Conditionnelles locales \(\ne\) loi conjointe : un contre-exemple

Notion de cliques

Definition On appelle Clique un ensemble de points tels que chaque paire de points du sous-ensemble est connectée est voisin.

Exemple

Quelles sont les cliques de ce graphe de voisinage

Champs de Gibbs - une sous famille des champs de Markov

Definition Soit \(\mathcal{E}\) un espace fini, \(\boldsymbol{X}=\left (X_s, s\in D\right)\) à valeurs dans \(\mathcal{E}^{|D|}\). \(\boldsymbol{X}\) est un champs de Gibbs si \[{\mathbb{P}}\left (\boldsymbol{X}\right ) = Z^{-1} e^{- \sum_c \Phi_c(X_c) },\] où la somme est prise sur toutes les cliques \(c\), \(\Phi_c\) est un potentiel i.e une fonction définie sur une partie de \(D\) et à valeurs dans \({\mathbb{R}}\) et \(X_c = \lvert X_s, s \in c \lVert\) et \(Z\) est une constante de normalisation en général inconnue.

Loi conditionnelle pour un champs de Gibbs

\[ {\mathbb{P}}(x_F \vert x^F) = {\mathbb{P}}(x_F \vert x_{\partial{F}}) = Z^{-1}_F e^{U_\phi(x_F\vert x_{\partial{F}})}\] avec \(U_\phi(x_F\vert x_{\partial{F}}) = \sum_{c, F\cup c \ne \emptyset} \Phi_c(X_c)\).

Pour définir un champs de Gibbs il faut donc

• Un voisinage qui définit les cliques et donc les parties de \(D\) sur lesquelles sont définies mes potentiels.

• les potentiels \(\Phi_c\) et on définit l’énergie \(U(\phi) = \sum_c \Phi_c(X_c)\)

• il faut s’assurer que

Champs gaussiens et Champs de Gibbs

Soit \(\boldsymbol{X}\) un champs gaussien sur \(D\) de loi \(\mathcal{N}(\mu, \Sigma)\),

• Quelle est la loi de \(\boldsymbol{X}\) ? (on peut utiliser la précision, inverse de la covarainec pour plus de simplicité)

• En faisant le lien avec la forme d’un champs de Gibbs, identifier des cliques

• En déduire la décomposition de l’énergie sous forme de cliques

• Ecrire la loi de \(X_i\) sachant tout le reste

• Que signifie que \(Q_{ij}= 0\) ?

Résumé sur les champs de Gibbs

Pour définir un champs de Gibbs

• on se donne les parties \(A\) de \(D\)

• on se donne des potentiels \(\Phi_A\)

• Vérifier que \(exp U_\phi\) est intégrable

Theorem de Hammersley Clifford

Si \(\pi\) est un champs de Markov pour un graphe \(G\) symétrique et pour tout \(x\), \(\pi(x)>0\) alors \(\pi\) est un champs de Gibbs dont les potentiels sont limités aux cliques de \(G\).

Tout champs de Gibbs est un champs de markov pour le graphe engendré par les potentiels de Gibbs

Cas particulier de la famille exponentielle

On se donne un graphe de voisinage \(G\) et on définit les lois conditionnelles sous la forme de la famille exponentielle.

\[log\pi(x_i\vert \partial{x_i}) = A_i(\partial{x_i}) B_i(x_i) + C_i(x_i) + D_i(\partial{x_i})\] où \(A_i(\partial{x_i}) = \alpha_i + \sum_{j\in \partial_i} \beta_{ij} x_j\) et pour assurer la symétrie \(\beta_{ij}=\beta_{ji}\)

Alors \(\pi\) est un champs de Gibbs avec

\[\Phi_i(x_i) = \alpha_i B_i(x_i) + C_i(x_i), \quad \Phi_{i,j}(x_i,x_j) = \beta_{ij}B_i(x_i)B_j(x_j)\]

Modèle SAR - Cadre Gaussien

\[Z = BZ + \nu\]

• \(B\) : Matrice de poids spatiaux
• \(\nu\) : Bruit normal \(\nu \sim N(0, \Omega)\)
  • \(\Omega\) est une matrice diagonale dont tous les termes diagonaux sont strictement positifs.
  • Par convention les termes \(b_{ii}\) de la matrice sont nuls (les sites ne dépendent pas d’eux-mêmes)
• Modèle simultané : chaque variable dépend directement de ses voisines

Puisque \(Z - BZ = \nu\), \[ \Sigma_{SAR} = (I - B)^{-1} \Omega (I - B^T)^{-1} \]

Remarques

• La dépendance spatiale est due à B.
• \(B\) n’est pas obligatoirement symétrique, en effet la forme quadratique \((I - B)^{-1} \Omega (I - B^T)^{-1}\) est symétrique même si \(B\) ne l’est pas
• Il faut que \(I-B\) soit inversible

Modèle CAR

\[ Z_i | Z_{-i} \sim N \left( \sum_{j \neq i} c_{ij} Z_j, \sigma^2 / m_{ii} \right) \]

\(Z_{-i}\) désigne l’ensemble des \(Z_j\) pour \(j\ne i\).

• La matrice \(C\) est la matrice des poids spatiaux et on impose \(C_{ii}=0\) (on ne définit pas \(Z_i\) conditionnellement à lui même)

• La matrice \(M\) est diagonal et ses termes diagonaux sont positifs.

• Dépendance conditionnelle : chaque variable est conditionnée aux voisines

• Matrice de covariance :

\[\Sigma_{CAR} = (I - C)^{-1} M\]

Remarques

La loi conditionnelle de \(Z_i\) est une combinaison linéaire des autres variables.

Les valeurs de \(m_{ii}\) se sont pas toutes identiques

Ce n’est pas évident que ca définit une loi jointe qui existe

Modèle CAR

• Existence du modèle CAR sous réserve que \((I-C)^{-1} M\) est définie positive (Besag (1974)) et alors

\[Z \sim \mathcal{N}(0, \Sigma_{CAR}), \quad \Sigma_{CAR} = (I-C)^{-1} M\] Puisque \(\Sigma_{CAR}\) doit être symétrique alors \[\frac{C_{ij}}{m_{ii}} =\frac{C_{ji}}{m_{jj}}\]

Les matrices de poids

En pratique, on choisit la matrice \(B\) du modèle SAR sous la forme \(B = \rho_s W\) et

la matrice \(C\) du CAR sous la forme \(C=\rho_C W\).

La matrice \(W\) est une matrice de poids tels que

• \(W_{ij}\ne 0\) si \(i\) et \(j\) sont voisins

Impact du voisinage

On souhaite définir un CAR sous la forme

\[Z_i \vert Z_{-i} \sim \mathcal{N}(\sum_{j, j\in V(i)} Z_j, \sigma^2/m_{ii})\]

Est-ce un modèle CAR valide ?

Relations entre CAR et SAR

Théorème Ver Hoef, Hanks, and Hooten (2018) :

• Tout modèle SAR peut s’écrire de manière unique comme un modèle CAR

• Tout modèle CAR peut s’écrire de manière comme un modèle SAR mais cette écriture n’est pas unique

Estmation des modèles CAR et SAR

En général CAR et SAR ne sont utilisés que pour le bruit

on a donc des modèles

\(Y = X\beta + Z + \epsilon\) où \(Z\) a une structure SAR ou CAR et \(\epsilon\) un bruit pur.

Pour l’estimation, on utilise un algorithme itératif

• On estime \(\tilde{\beta}\) par les MCO

• On calcule les résidus \(\tilde{Z} = Y- X \tilde{\beta}\) et on estime \(\hat{\Sigma}\) la structure de covariance,

• on injecte cette structure dans la vraisemblance et on estime \(\tilde{\beta}\) par les moindres carrés généralisés

• on recommence jusqu’à stabilisation.

Tester si il y dépendance - Indice de Moran \(I\)

Définition \[I = \frac{n}{\sum_{i\neq j} w_{ij}} \frac{\sum_{i\neq j} w_{ij}(x_i-\bar x)(x_j-\bar x)} {\sum_i (x_i-\bar x)^2}\]

• \(w_{ij}\) : poids spatiaux (voisinage, distance, contiguïté)
• \(\bar x\) : moyenne globale

Interprétation

• \(I > 0\) : valeurs similaires regroupées (clustering)
  
• \(I < 0\) : voisinage contrasté (dispersion)
  
• \(I = 0\) : absence de structure spatiale

Test de Moran

\[H_0 : \text{pas d'autocorrélation spatiale}\] \[\frac{I- {\mathbb{E}}(I)}{\sqrt{Var(I)}} \approx \mathcal{N}(0, 1)\] avec \({\mathbb{E}}(I) = (n-1)^{-1}\) et \[Var(I) = \frac{s_1}{s_0^2}, \quad s_0 =\sum_{i,j} w_{ij}, \quad s_1 = \sum_{i,j} w_{ij}^2 +w_{ij}w_{ji}\]

Tester si il y dépendance - Indice de Geary \(C\)

Mesurer l’autocorrélation spatiale locale, plus sensible aux abruptes variations.

Définition

\[C = \frac{(n-1)}{2\sum_{i\neq j} w_{ij}} \frac{\sum_{i\neq j} w_{ij}(x_i - x_j)^2} {\sum_i (x_i-\bar x)^2}\]

Interprétation

• \(C < 1\) : autocorrélation positive
  
• \(C > 1\) : autocorrélation négative
  
• \(C = 1\) : absence de structure spatiale

Plus C est grand, moins les valeurs voisines se ressemblent

Test de Geary

\[H_0 : \text{pas d'autocorrélation spatiale}\]

approche de la loi sous \(H_0\) par permutation

Que se passe-t-il si on n’est plus dans un cadre gaussien ?

On compte le nombre de personnes atteintes de cancer soigné dans les hopitaux.

Chaque hopital est associé à un sercteur géographique, pour lequel on a des descripteurs environnementaux.

Quel modèle proposez vous ?