ENSAI - CREST
https://marieetienne.github.io/MAF/
2024-12-19
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Le but de l’analyse des correspondances multiples (ACM) est de généraliser l’AFC en étudiant les liaisons entre plusieurs variables qualitatives.
Les données décrivent
On note \(m\) le nombre total de modalités de sorte que :
\[ m=\sum_{j=1}^p m_j. \]
Concerné Position Culture Position Al H
Beaucoup :36 Favorable :45 Favorable :37
Moyen :53 Pas Favorable du Tout:33 Pas Favorable du Tout:50
Pas du Tout:15 Plutôt Défavorable :54 Plutôt Défavorable :47
Un Peu :31 Très Favorable : 3 Très Favorable : 1
Position Al A Manif Media Actif Info Active
Favorable :44 Non:122 Non:78 Non:82
Pas Favorable du Tout:44 Oui: 13 Oui:57 Oui:53
Plutôt Défavorable :39
Très Favorable : 8
Produits Phytosanitaires Famine Amélioration Agr Futur Progrès Danger
Non:56 Non:67 Non:93 Non:54 Non:39
Oui:79 Oui:68 Oui:42 Oui:81 Oui:96
Menace Risque Eco Procédé Inutile
Non:48 Non:67 Non:123
Oui:87 Oui:68 Oui: 12
Grds Parents Sexe Age CSP Relation
Non:49 F:71 [26; 40]:24 Etudiant :69 Non:79
Oui:86 H:64 [41; 60]:24 Cadre :17 Oui:56
< 25 :73 Retraité :14
> 60 :14 Autre : 9
Fonction Publique: 9
Technicien : 6
(Other) :11
Parti Politique
Centre :32
Extrême gauche: 9
PS :47
UMP :40
Verts : 7
L’AFC fait le lien entre les modalités de deux variables qualitatives.
Dans l’AFC, on ne prête plus attention aux individus (ici un répondant) et on s’intéresse au tableau de contingence uniquement (défini à partir du tableau disjonctif complet)
La distance entre deux profils est mesurée à l’aide de la distance du \(\chi^2\).
Dans les données initiales, pour chaquae individu, et pour chaque variable qualitative, on note la modalité observée.
Pour manipuler les données, on recode souvent ces données initiales sous forme du tableau disjonctif complet \(Z\).
Dans ce tableau, une colonne représente une modalité, pour une des variables et on note \(1\) si l’individu possède cette variable \(0\) sinon
Questions :
\[ Z = \begin{pmatrix}Z_1 \ldots Z_p\end{pmatrix} \] \(Z_j\) est donc un tableau à \(n\) lignes et \(m_j\) colonnes.
On définit le tableau de Burt \(B\) par :
\[ B = Z^\top Z = \begin{pmatrix} B_1 & B_{12}& \ldots &B_{1p} \\ B_{21} & B_{2}& \ldots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ B_{p1} & \ldots & & B_p \end{pmatrix}, \]
Comme vu pour l’AFC sur l’onglet Table de contingence
La somme des valeurs dans chaque ligne ou colonne correspond à l’effectif total des individus.
Questions :
\[\bf{Z} = \overset{{\begin{matrix} \class{orange}{a_1} & \class{orange}{a_2} & \class{rouge}{b_1} & \class{rouge}{b_2} & \class{rouge}{b_3}& \class{vert}{c_1} & \class{vert}{c_2} & \class{vert}{c_3}\end{matrix}}}{ \begin{pmatrix} \class{orange}{1} & \class{orange}{0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{1}\\ \class{orange}{1} & \class{orange}{0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0}& \class{vert}{0} & \class{vert}{1} & \class{vert}{0}\\ \class{orange}{0} & \class{orange}{1} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{1} & \class{vert}{0}\\ \class{orange}{0} & \class{orange}{1} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{0} & \class{vert}{1} & \class{vert}{0} & \class{vert}{0}\\ \class{orange}{1} & \class{orange}{0} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{0}& \class{vert}{0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{1}\\ \class{orange}{1} & \class{orange}{0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{1}& \class{vert}{1} & \class{vert}{0} & \class{vert}{0}\\ \end{pmatrix}}\]
\[\bf{B} = ??\]
\[\bf{B} = \begin{pmatrix} \class{orange}{4} & \class{orange}{0} & {1} & {2}& {1} & {1} & {1}& {2}\\ \class{orange}{0} & \class{orange}{2} & {1} & {1}& {0} & {1} & {1}& {0}\\ {1} & {1} & \class{rouge}{2} & \class{rouge}{0}& \class{rouge}{0} & {1} & {0}& {1}\\ {2} & {1} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{3}& \class{rouge}{0} & {0} & {2}& {1}\\ {1} & {0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{0}& \class{rouge}{1} & {1} & {0}& {0}\\ {1} & {1} & {1} & {0}& {1} & \class{vert}{2} & \class{vert}{0}& \class{vert}{0}\\ {1} & {1} & {0} & {2}& {0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{2}& \class{vert}{0}\\ {2} & {0} & {1} & {1}& {0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{0}& \class{vert}{2}\\ \end{pmatrix} \]
On veut généraliser ce qu’on a fait dans l’AFC, c’est à dire
On a besoin de définir une “AFC” sur le tableau de Burt
On considère \(X = \frac{1}{p} \Delta^{-1} B\), où \(\Delta\) est une matrice diagonale qui contient les effectifs de chaque modalité, c’est c’est-à -dire \[Diag(\Delta)= Diag (B).\]
Ceci revient à diviser chaque ligne \(i\) par l’effectif dans la modalité \(j\).
\(X_{ij} = \frac{k_{ik}}{k_{i+}}.\)
\[\bf{\Delta^{-1}} = \begin{pmatrix} \class{orange}{1/4} & \class{orange}{0} & {0} & {0}& {0} & {0} & {0}& {0}\\ \class{orange}{0} & \class{orange}{1/2} & {0} & {0}& {0} & {0} & {0}& {0}\\ {0} & {0} & \class{rouge}{1/2} & \class{rouge}{0}& \class{rouge}{0} & {0}& {0}& {0}\\ {0} & {0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{1/3}& \class{rouge}{0} & {0} & {0}& {0}\\ {0} & {0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{0}& \class{rouge}{1} &{0} & {0}& {0}\\ {0} & {0} & {0} & {0}& {0} & \class{vert}{1/2} & \class{vert}{0}& \class{vert}{0}\\ {0} & {0} & {0} & {0}& {0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{1/2}& \class{vert}{0}\\ {0} & {0} & {0} &{0}& {0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{0}& \class{vert}{1/2}\\ \end{pmatrix} \] \[\bf{B} = \begin{pmatrix} \class{orange}{4} & \class{orange}{0} & {1} & {2}& {1} & {1} & {1}& {2}\\ \class{orange}{0} & \class{orange}{2} & {1} & {1}& {0} & {1} & {1}& {0}\\ {1} & {1} & \class{rouge}{2} & \class{rouge}{0}& \class{rouge}{0} & {1} & {0}& {1}\\ {2} & {1} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{3}& \class{rouge}{0} & {0} & {2}& {1}\\ {1} & {0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{0}& \class{rouge}{1} & {1} & {0}& {0}\\ {1} & {1} & {1} & {0}& {1} & \class{vert}{2} & \class{vert}{0}& \class{vert}{0}\\ {1} & {1} & {0} & {2}& {0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{2}& \class{vert}{0}\\ {2} & {0} & {1} & {1}& {0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{0}& \class{vert}{2}\\ \end{pmatrix} \]
\[\bf{\frac{1}{p} \Delta^{-1} B} = \bf{X} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1& 0& 1/4 & 1/2 & 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0.5 & 0& 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 1 & 0.0 & 0& 1/2 & 0 & 1/2 \\ 2/3 & 1/3 & 0& 1 & 0& 0& 2/3 & 1/3 \\ 1 & 0 & 0& 0.0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 & 0.0 & 1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0& 1 & 0& 0& 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1/2 & 1/2 & 0& 0& 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\]
Dans le formalisme vu en ACP, ceci correspond à la matrice \(W = \frac{1}{np} \Delta\)
\[d(x_{i_1}, x_{i_2})^2 =\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{f_{+k}} \left(\frac{f_{i_1k}}{f_{i_1+}} -\frac{f_{i_2k}}{f_{i_2+}}\right)^2\]
Dans le formalisme matriciel de l’ACP ceci revient à définir la métrique
\(M = D_{1/f_{+ j}} = np\Delta^{-1}\)
On est conduit à trouver les valeurs propres de
\[(X M^{1/2})^\top W (X M^{1/2})\]
ou de manière équivalente celles de la matrice
\[VM = X^\top W X M = \Delta^{-1} \frac{1}{p} B^\top \frac{1}{np} \Delta \Delta^{-1} \frac{1}{p} B np \Delta^{-1} = \left ( \frac{1}{p} \Delta^{-1} B \right )^2\]
On peut montrer que l’inertie du nuage des profils-lignes est donnée par :
\[ I = \frac{m-p}{p^2} + \frac{n}{p^2} \sum_{j_1=1}^p \sum_{j_2 \neq j_1} \mathcal{X}^2_{j_1,j_2}, \]
où \(\mathcal{\chi}^2_{j_1,j_2}\) est le coefficient de liaison entre les variables \(j_1\) et \(j_2\).
L’inertie I obtenue par l’AFC de \(B\) mesure la liaison globale entre tous les couples de variables. Cette interprétation de l’inertie justifie de faire l’AFC sur le tableau B.
Lorsque els variables sont strictement indépendantes \[I = \frac{m-p}{p^2}\]
On veut garder l’information sur les individus
on va travailler à partir du tableau disjonctif complet \(Z\)
on veut garder la même métrique pour les variables que lors de l’AFC sur le tableau de Burt
On effectue l’AFC à partir du tableau \(Z\), qui conserve toutes les informations relatives à chaque individu.
\[\bf{X} = \frac{1}{p}\bf{Z} = \frac{1}{3} \overset{{\begin{matrix} \class{orange}{a_1} & \class{orange}{a_2} & \class{rouge}{b_1} & \class{rouge}{b_2} & \class{rouge}{b_3}& \class{vert}{c_1} & \class{vert}{c_2} & \class{vert}{c_3}\end{matrix}}}{ \begin{pmatrix} \class{orange}{1} & \class{orange}{0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{1}\\ \class{orange}{1} & \class{orange}{0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0}& \class{vert}{0} & \class{vert}{1} & \class{vert}{0}\\ \class{orange}{0} & \class{orange}{1} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{1} & \class{vert}{0}\\ \class{orange}{0} & \class{orange}{1} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{0} & \class{vert}{1} & \class{vert}{0} & \class{vert}{0}\\ \class{orange}{1} & \class{orange}{0} & \class{rouge}{1} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{0}& \class{vert}{0} & \class{vert}{0} & \class{vert}{1}\\ \class{orange}{1} & \class{orange}{0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{0} & \class{rouge}{1}& \class{vert}{1} & \class{vert}{0} & \class{vert}{0}\\ \end{pmatrix}}\]
Dans le formalisme vu en ACP, ceci correspond à la matrice \(W = \frac{1}{n} I_n\)
\[d(x_{i_1}, x_{i_2})^2 =\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{f_{+k}} \left(x_{i_1k} - x_{i_2k} \right)^2 =\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{p^2f_{+k}} \left(z_{i_1k} - z_{i_2k} \right)^2 \]
Dans le formalisme matriciel de l’ACP ceci revient à définir la métrique
\(M = D_{1/f_{+ j}} = np\Delta^{-1}\)
On est conduit à trouver les valeurs propres de
\[(X M^{1/2})^\top W (X M^{1/2})\]
ou de manière équivalente celles de la matrice
\[VM = X^\top W X M = \frac{1}{p} Z^\top \frac{1}{n} I_n \frac{1}{p} Z np\Delta^{-1} = \left ( \frac{1}{p} \Delta^{-1} B \right )\]
Comme dans le cas de l’ACP, L’inertie n’a pas d’intérêt en soi, on peut montrer qu’elle vaut toutefois :
\[ I = \frac{m-p}{p} \]
Coordonnées du centre de gravité : \[x_{\bullet j} = \sum_{i=1}^n w_i x_{ij} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{z_{ij}}{p}= \frac{1}{n} \frac{k_{+j}}{p}\]
\[ \rho_k = \lambda_k^2, \]
et les valeurs propres sont les mêmes.
Ainsi les axes construits par les deux AFC sont les mêmes, et à un changement d’échelle près on peut représenter individus et modalités sur le même graphique.
Dans les sorties de Rce sont les valeurs propres \(\lambda_k\) qui sont fournies.
On note
Alors
\[F_s(i) = \frac{1}{\lambda_s} \sum_{j=1}^m \frac{x_{ij}}{p} G_s(j)\] \[G_s(j) = \frac{1}{\lambda_s} \sum_{i=1}^n \frac{x_{ij}}{k_{+j}} F_s(j)\]
Comme pour toutes les analyses factorielles, on interprète en
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