Présentation

Définition L’EAS consiste à prélever (sans remise) n éléments dans une population de taille N, au hasard et de façon indépendante. Chaque élément possède la même probabilité d’être échantillonné et chacun des échantillons possibles de taille n possède la même probabilité d’être constitué.

Exemple

On s’intéresse aux captures dans une population de \(N=36\) pêcheurs. On choisit au hasard 18 pêcheurs, soit un effort d’échantillonnage \(f=0.5\).

Echantillonnage Débarquement - cours E. Rivot

Méthodologie - cours E.Rivot

N <- 36
n <- 18
pecheur_echant <- sample(1:N, size = n, replace =FALSE)

Propriétés de l’estimateur de la moyenne

Chaque individu a la même probabilité d’être dans l’échantillon. par exemple pour l’individu \(i=5\).

Expliquer le code suivant :

i <- 5 
res <- replicate(400, i %in% sample(1:N, size= n, replace = FALSE))
sum(res) / length(res)

## [1] 0.4775

L’estimateur de la moyenne est ${X}n={i=1}^n{X_i}, $ et l’estimateur de la variance est \(S^2 =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(X_i -\bar{X}_n)^2\).

Alors \[Var(\bar{X}_n)= (1-f) \frac{\hat{\sigma}^2}{n}\]

La variance vient du fait qu’on n’échantillonne pas complètement la population.

• Que se passe t il si \(n\to N\) ?
• Que peut-on dire de \(f\) si la population est très grande ?

Propriétés de l’estimateur de la somme

L’estimateur de la somme est ${X}n^+= {i=1}^n {X_i} = N {X}_n, $ Alors \[Var({X}_n^+)= \frac{N^2}{n} (1-f) {\hat{\sigma}^2}\]

• Que se passe t il si \(n\to N\) ?

Exemple : Estimation de la population totale de poissons

Sur une zone de 10 km\(^2\), 30 traits de chalut sont réalisés.

Chacun balaie une surface de 20m x 5000m = 100 000 m\(^2\) = 1/10 de km\(^2\) soit 1/100 de la surface totale.

• Que vaut \(f\) ?
• Estimer la population totale à partir de l’estimation de la population moyenne par traits de chalut ?

Données : \(\bar{x} = 1000\),\(\hat{\sigma}^2 = 10000,\)

Optimisation de la taille de l’échantillon

Il est souhaitable d’avoir une bonne précision mais pas à n’importe quel prix !! et l’échantillonnage coute cher !

Si on veut une précision de 10\(\%\) quelle taille d’echantillon faut-il choisir ?

Le coefficient de variation est défini par \[CV_{\bar{X}_n} =\frac{\sqrt{Var(\bar{X}_n)}}{E(\bar{X}_n)}\] En déduire la valeur de \(n\) minimale pour avoir un CV estimé de 10\(\%\).

Intérêts et limites

• L’échantillonnage est simple (quoique ….)

• Les propriétés des estimateurs sont sympathiques

• peu efficace pour estimer des différences au sein d’une population,

Présentation

L’échantillonnage stratifié à subdiviser une population hétérogène en sous populations ou « strates » plus homogènes, mutuellement exclusives et collectivement exhaustives.

La population hétérogène de taille N est ainsi divisée en S strates (\(s = 1,\ldots, S\)) plus homogènes d’effectif \(N_s\) telles que \(N = \sum_{s=1}^{S}N_s\).

Un échantillon est prélevé dans chacune des strates en appliquant un plan d’échantillonnage. La solution la plus simple et la plus classique est d’appliquer un EAS dans chaque strate (mais on peut appliquer un autre plan).

Exemple

Echantillonnage Débarquement - cours E. Rivot

Propriétes

La variance provient uniquement de l’échantillonnage intre strate, pas de variance d’estimation inter strate puisque toutes les strates sont vues !

Plus efficace qu’un EAS

Example

Re prendre le jeu de données large_growth_dataet proposer un échantillonnage stratifié.

Estimer la taille moyenne de la population.

• Réfléchir sur les strates pertinentes.
• Représenter la variabilité de l’estimateur.

On peut choisir de stratifier par couple (sexe x site). On imagine connu les effectifs de chaque classe et on veut échantillonner avec un taux \(f_h=0.2\) comme dans le cas de l’EAS.

Le code qui suit propose une solution utilisant largement le potentiel du package dplyr.

fh <- 0.2

strates <- large_growth_data %>% 
  group_by(sexe, site) %>%  
  summarise(no_rows = length(length))

Il est possible de calculer els moyennes au sein de chaque strate et de les combiner dans une moyenne pondérée

estimated_pop_mean_1 <- large_growth_data %>% 
  group_by(sexe, site) %>% sample_frac(size = fh) %>%  # on groupe par sexe x site et on échantillonne
  group_by(sexe, site) %>% summarise(estimated_means = mean(length)) %>%  # groupe par sexe x site et calcule de moyenne 
  inner_join(strates) %>% ungroup() %>% # concatenation avec la table strate et on degroupe
  summarise( p_mean = weighted.mean(estimated_means, w=no_rows) ) # calcul de la moyenne pondérée

## Joining, by = c("sexe", "site")

Ou plus directement on calcule la moeyenne des individus échantillonnés

estimated_pop_mean_2 <- large_growth_data %>% 
  group_by(sexe, site) %>% sample_frac(size = fh) %>%  # on groupe par sexe x site et on échantillonne
  group_by(sexe, site) %>% ungroup() %>% summarise(p_mean = mean(length)) 

Pour visualiser la distribution de l’échantillonnage

estimates_ES <- data.frame( mean = 
                              replicate(L, {
                                estimated_pop_mean_1 <- large_growth_data %>% 
                                  group_by(sexe, site) %>% sample_frac(size = fh)  %>% dplyr::summarise(pmean = mean(length)) %>%  # groupe par sexe x site et calcule de moyenne 
                                  inner_join(strates) %>% ungroup() %>% # concatenation avec la table strate et on degroupe
                                  dplyr::summarise( p_mean = weighted.mean(pmean, w=no_rows) ) %>% # calcul de la moyenne pondérée
                                  as.numeric()
                              }) ) 

ggplot(estimates_ES, aes(x=mean)) + geom_histogram(fill = 'darkgreen', alpha = 0.6, bins = 10) + 
  geom_vline(xintercept = mean(large_growth_data$length))+ xlim(c(24, 28))

La variance de l’estimateur calculé sur 100 réalisations vaut 0.4146318.

Attention dans la réalité, on ne connait pas le poids de chaque strate.

• Que se passe t il si on se trompe dans le poids des strates ?

On va sur échantillonner une strate. Cele ci sera donc sur représentée dans l’échantillon et l’estimateur ainsi construit sera biaisé.

• Comment avoir une idée du poids des strates ?

On peut utiliser des données d’années précédentes, la littérature ou construire un EAS pour estimer le poids de chaque strate.

Intérêts et limites

L’ES est d’autant plus intéressant que : - La variance inter-strates est grande (pas de var. inter-strates dans la variance d’estimation) ; - La variance intra-strate est réduite (seule source de variance d’estimation).

A condition que les strates soient bien définies, en rapport avec la variable d’intérêt dans la population.

l’ES fournit des estimateurs sans biais et procure un gain de précision important par rapport à l’EAS.

Une erreur d’appréciation du poids des strates \(w_s\) peut entraîner un biais important dans les estimateurs de la moyenne \(\mu\) et du total \(\Sigma\).